De Vylder type approximation of the ruin probability for the insurer-reinsurer model

• Autorzy: Burnecki Krzysztof , Teuerle Marek A. , Wilkowska Aleksandra

Identyfikatory

DOI

10.14708/ma.v47i1.6417

Warianty tytułu

PL

Aproksymacja typu De Vyldera prawdopodobieństwa ruiny dla modelu ubezpieczyciel-reasekurator

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

In this article we introduce a De Vylder type of approximation of the ruin probability for a two-dimensional risk process, where claims and premiums are shared with a predetermined proportion. Such a process is usually associated with the insurer-reinsurer model. Applying De Vylder's idea to the risk process we obtain an approximation of the ruin probability for an arbitrary claim amount distribution Orly assuming that the third moment exists. We check performance of the approximation by means of the Monte Carlo simulations studying several typical claim Mount distributions. All results show that the proposed approximation yields very small relative errors. Finally, we illustrate the approximation by considering real-world loss data obtained from a Polish insurance company.

PL

W niniejszej pracy rozważano problem aproksymacji prawdopodobieństwa ruiny dla dwuwymiarowego procesu ryzyka, dla którego wszystkie szkody jak i zebrana składka dzielone są pomiędzy dwa składowe procesy ryzyka wg wcześniej zdefiniowanej i stałej w czasie proporcji. Taki proces ryzyka może opisywać układ ubezpieczyciela i reasekuratora, dla których wszystkie polisy w portfelu objęte są kontraktem reasekuracji proporcjonalnej. Stosując technikę zaproponowaną przez De Vyldera uzyskano aproksymację prawdopodobieństwa ruiny w przypadku, gdy szkody w rozważanym dwuwymiarowym procesie ryzyka są z dowolnego rozkładu o skończonych pierwszych trzech momentach. Jakość uzyskanych przybliżeń prawdopodobieństwa ruiny została zweryfikowana za pomocą symulacji Monte Carlo dla kilku typowych rozkładów prawdopodobieństwa używanych do modelowania szkód ubezpieczeniowych. Wszystkie wyniki wskazują, że zaproponowana aproksymacja prowadzi do małych błędów względnych. Na koniec, opracowana technika została użyta dla rzeczywistych danych uzyskanych od jednego z polskich towarzystw ubezpieczeniowych.

Słowa kluczowe

EN

ruin probability; two-dimensional risk process; De Vylder approximation

PL

prawdopodobieństwo ruiny; proces ryzyka dwuwymiarowy; aproksymacja De Vyldera

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Matematyczne
• Czasopismo: Mathematica Applicanda
• Rocznik: 2019
• Tom: Vol. 47, no. 1
• Strony: 5--24
• Opis fizyczny: Bibliogr. 20 poz., fot., tab., wykr.

Twórcy

autor

Burnecki Krzysztof

• Wrocław University of Science and Technology, Faculty of Pure and Applied Mathematics, Hugo Steinhaus Center, Wybrzeże Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław

autor

Teuerle Marek A.

• Wrocław University of Science and Technology, Faculty of Pure and Applied Mathematics, Hugo Steinhaus Center, Wybrzeże Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław

autor

Wilkowska Aleksandra

• Wrocław University of Science and Technology, Faculty of Pure and Applied Mathematics, Hugo Steinhaus Center, Wybrzeże Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław

Bibliografia

• [1] S. Asmussen and H. Albrecher, Ruin probabilities. advanced series on statistical science and applied probability, second ed., World Scientific Publishing Co. Inc., Singapore, 2010. MR 2766220 Cited on pp. 6, 9, and 10.
• [2] F. Avram, Z. Palmowski, and M. Pistorius, A two-dimensional ruin problem on the positive quadrant, Insurance Math. Econom. 42 (2008), no. 1, 227-234. MR 2392084 Cited on pp. 6, 7, 8, 9, 10, and 13.
• [3] R. Biard, C. Lefévre, and S. Loisel, Impact of correlation crises in risk theory: asymptotics of finite-time ruin probabilities for heavy-tailed claim amounts when some independence and stationarity assumptions are relaxed, Insurance Math. Econom. 43 (2008), 412-421. MR 2479588 Cited on p. 6.
• [4] K. Burnecki, J. Janczura, and R. Weron, Building loss models, Statistical Tools for Finance and Insurance, 2nd ed., Springer, Berlin, 2011, pp. 293-328. MR 2856926 Cited on pp. 17, 18, and 19.
• [5] K. Burnecki, P. Miśta, and A. Weron, A new gamma type approximation of the ruin probability, Acta Phys Pol B 36 (5) (2005), 1473-1483. Cited on p. 6.
• [6] - What is the best approximation of the ruin probability in infinite time?, Acta Phys Pol B 32 (2) (2005), 155-176. MR 2140130 Cited on pp. 6 and 21.
• [7] K. Burnecki and M. Teuerle, Ruin probabilities infinite time, Statistical Tools for Finance and Insurance, 2nd ed., Springer, Berlin, 2011, pp. 329-348. MR 2856927 Cited on p. 6.
• [8] J. F. Collamore, Hitting probabilities and large deviations, Ann Probab 24 (1996), 2065-2078. MR 1415241 Cited on p. 6.
• [9] R. B. D'Agostino and M. A. Stephens, Goodness-of-fit techniques, Marcel Dekker, Inc., New York, 1986. MR 0874534 Cited on p. 18.
• [10] F. E. De Vylder, A practical solution to the problem of ultimate ruin probability, Scand Actuarial J 2 (1978), 114-119. Cited on p. 11.
• [11] P. Embrechts, C. Klüppelberg, and T. Mikosch, Modelling extremal events for insurance and finance, Springer, New York, 1997. Cited on pp. 5 and 17.
• [12] J. Grandell, Aspects of risk theory, Springer, Berlin, 1991. MR 1084370 Cited on p. 5.
• [13] - Simple approximations of ruin probabilities, Insurance Math. Econom. 26 (2000), 157-173. MR 1787834 Cited on pp. 6 and 21.
• [14] J. Grandell and C.-O. Segerdahl, A comparison of some approximations of ruin probabilities, Scand Actuarial J 1971 (1971), 143-158. MR 348864 Cited on p. 6.
• [15] H. Hult, F. Lindskog, T. Mikosch, and G. Samorodnitsky, Functional large deviations for multivariate regularly varying random walks, Ann Appl Probab 15 (2005), 2651-2680. MR MR2187307 Cited on p. 6.
• [16] X. Li, J. Wu, and J. Zhuang, Asymptotic multivariate finite-time ruin probability with statistically dependent heavy-tailed claims, Methodol Comput Appl 17 (2015), 463-477. MR 3343416 Cited on p. 6.
• [17] Z. Michna, Ruin probabilities for two collaborating insurance companies, 2018, preprint available on-line http://arxiv.org/abs/1804.06598. Cited on p. 7.
• [18] H. H Panjer and G. E. Willmot, Insurance risk models, Society of Actuaries, Schaumburg, 1992. MR 1226233 Cited on pp. 6 and 10.
• [19] M. Teuerle, A. Wilkowska, and K. Burnecki, Ruin probability for the insurer-reinsurer model for exponential claims, Wrocław University of Science and Technology,Wrocław, 2018, preprint available on-line http://prac.im.pwr.edu.pl/%7Ehugo/publ/RuinInsurerReinsurer2018.pdf. Cited on pp. 7, 9, 10, and 20.
• [20] G. Wang, G. Wang, and H. Yang, Asymptotic multivariate finite-time ruin probability with statistically dependent heavy-tailed claims, Insurance Math. Econom. 68 (2016), 73-83. MR 3492692 Cited on p. 6.

Uwagi

Opracowanie rekordu w ramach umowy 509/P-DUN/2018 ze środków MNiSW przeznaczonych na działalność upowszechniającą naukę (2019).