Optymalizacja odwzorowania wielostożkowego Polski według kryterium Airy'ego

• Autorzy: Latuszek K. J.

Warianty tytułu

EN

Optimization of a polyconic projection for Poland with respect to Airy's criterion

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

Jednym z podstawowych zadań kartografii matematycznej jest poszukiwanie odwzorowań o minimalnym całkowitym poziomie zniekształceń. Kryterium Airy'ego postuluje minimalizację kwadratów odchyleń od jedności ekstremalnych skal długości dla całego odwzorowywanego obszaru, co odpowiada minimalizacji zniekształceń długości we wszystkich kierunkach. W artykule przedstawiono zoptymalizowane ze względu na kryterium Airy'ego odwzorowanie wielostożkowe obszaru Polski.Przedstawiono trzy różne modele parametryczne odwzorowania wielostożkowego. Dla ustalonej liczby parametrów, modele te zostały zoptymalizowane z wykorzystaniem zmodyfikowanego algorytmu optymalizacji nieliniowej Neldera-Meada. Modyfikacja polegała na rozszerzeniu algorytmu Neldera-Meada o operator mutacji rozkładem normalnym, znany z algorytmów ewolucyjnych. Pozwoliło to zapobiec przedwczesnej zbieżności algorytmu. Funkcja celu wyznaczana została jako wynik całkowania numerycznego. Zbadana została regularność zoptymalizowanych odwzorowań oraz zilustrowany został rozkład zniekształceń odwzorowawczych w postaci interpolowanych numerycznie ekwideformat. Przyjmując za kryterium stopu działania algorytmu liczbę obliczeń wartości funkcji celu, wybrane parametryzacje zostały porównane ze względu na osiąganą średnio przeciętną wartość zniekształceń długości w badanym obszarze. Przeciętna wartość zniekształceń długości rozumiana jest tutaj jako podniesione do kwadratu, uśrednione i spierwiastkowane zniekształcenia długości w kierunkach skal ekstremalnych – jest to odpowiednik minimalizowanej miary zniekształceń w kryterium Airy'ego.

EN

One of the fundamental tasks of mathematical cartography is to find projections with minimized total distortion. Airys criterion demands that the sum of the squares of the principal scale errors should be minimized for the mapped area, so that the scale distortion in all directions is minimal. In this article, a polyconic projection for Poland, optimized with respect to Airys criterion will be presented. Three parametric models of the polyconic projection will be discussed. For a given number of parameters, these models will be optimized, using a modified Nelder and Mead nonlinear optimization algorithm. The modification consisted of extending Nelder and Mead algorithm with a mutation operator, known from evolutionary algorithms, which adds normally distributed random values to the projection parameters. This helped to prevent the algorithm from converging to a false minimum. Regularity of the optimized projections has been inspected and the distortion pattern has been illustrated using numerically interpolated lines of constant distortion. For a limited number of the objective function calculations, chosen parametric models have been compared, with respect to the averagely achieved mean scale distortion , for many algorithm evaluations, for the mapped area. The mean distortion of lengths is understood as the squared, averaged and square rooted length distortions in directions of extreme scales it corresponds to the minimized measure of distortion according to Airys criterion.

Słowa kluczowe

PL

kartografia matematyczna; odwzorowania wielostożkowe; minimalizacja zniekształceń odwzorowawczych; kryterium Airy’ego; algorytm Neldera-Meada

EN

mathematical cartography; polyconic projections; minimization of projection distortion; Airy's criterion; Nelder-Mead algorithm

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Informacji Przestrzennej
• Czasopismo: Roczniki Geomatyki
• Rocznik: 2015
• Tom: T. 13, z. 2(68)
• Strony: 109--123
• Opis fizyczny: Bibliogr. 5 poz., rys., tab.

Twórcy

autor

Latuszek K. J.

• Politechnika WarszawskaWydział Geodezji i Kartografii, Zakład Kartografii, Polska

Bibliografia

• 1. Canters F., 2002: Small-scale map projection design, Londyn, Nowy York: Taylor & Francis.
• 2. Latuszek K., 2013: Zastosowanie metody optymalizacji nieliniowej Neldera-Meada do konstrukcji odwzorowań kartograficznych o możliwie najlepszym rozkładzie zniekształceń odwzorowawczych – na przykładzie odwzorowania azymutalnego. Roczniki Geomatyki t. 11, z. 5(62): 75-85, PTIP Warszawa.
• 3. Panasiuk J., Balcerzak J., Pokrowska U., 1999: Wybrane zagadnienia z podstaw teorii odwzorowań kartograficznych, Warszawa: Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej.
• 4. Pędzich, P., 2008: Wybrane aspekty konstruowania odwzorowań kartograficznych o możliwie najmniejszych zniekształceniach odwzorowawczych, Roczniki Geomatyki, t. 6, z. 4: 89-101, PTIP Warszawa.
• 5. Snyder J.P., 1987: Map projections – a working manual, Waszyngton: United States Government Printing Office, U.S. Geological Survey Professional Paper, 1395.