Length-scale effect in dynamics and stability of thin periodic cylindrical shells

• Autorzy: Tomczyk B.

Warianty tytułu

PL

Efekt skali w dynamice i stateczności cienkich periodycznych powłok walcowych

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

The objects of considerations are thin linear-elastic Kirchhoff-Love-type circular cylindrical shells endowed with a material inhomogeneity and/or variable thickness and having a periodic structure either in two directions tangent to the shell midsurface or in only one direction. Thus, we shall deal with either biperiodic or uniperiodic heterogeneous shells. As examples we can mentioned cylindrical shells made of composite materials or reinforced by periodically spaced systems of fibres or stiffeners, cf. Figs. 3.1 and 3.2. The period of heterogeneity is assumed to be very large compared with the maximum shell thickness and very small as compared to the midsurface curvature radius as well as the smallest characteristic length dimension of the shell midsurface. It means that the shells under consideration are composed of a large number of identical elements and every such element, called a periodicity cell, can be treated as a thin shell. The subject-matter of this monograph is the analytical modelling of dynamic and stability problems for the shells under consideration and investigation of the effect of a cell size on the overall shell behaviour (the length-scale effect). Because properties of periodic shells are described by highly oscillating, non-continuous and periodic functions, the exact equations of the shell theory are too complicated to apply to investigations of engineering problems. That is why a lot of different approximate modelling methods for shells of this kind have been proposed. Periodic cylindrical shells are usually described using homogenized models derived by means of asymptotic methods. Unfortunately, in models of this kind the effect of the microstructure size on the overall shell behaviour is neglected in the first approximation which is usually employed. The periodically microheterogeneous shells are also modelled as homogeneous orthotropic structures. These orthotropic models are also incapable of describing many phenomena related to the existence of the microstructure length-scale effect (e.g. the dispersion of waves, the occurrence of higher-order free vibration frequencies and higher-order critical forces depending on a cell size). An alternative (i.e. non-asymptotic) approach to the modelling of micro-heterogeneous media was proposed by Woźniak in a series of papers and summarized in monographs by Woźniak and Wierzbicki [74], Woźniak, Michalak and Jędrysiak (eds.) [75], Woźniak et al. (eds.) [76]. This technique is called the tolerance modelling method. The leading role in formulation of this technique plays the concept of tolerance relations between points and real numbers related to the accuracy of the performed measurements and calculations. These tolerance relations are determined by the tolerance parameters. The second basic concepts of this method is a function slowly-varying within a cell. It is a function which, together with its derivatives occurring in the problem under consideration, can be treated as constant within every cell. Models obtained in the framework of the tolerance modelling procedure are called the tolerance models. The governing equations of the these models have coefficients which are constant or slowly-varying and depend on the period length of inhomogeneity. Hence, these equations make it possible to analyse the length-scale effect. The tolerance modelling technique was adopted by Tomczyk to formulation of the new averaged non-asymptotic models for the analysis of special dynamic and/or stability problems in thin micro-periodic cylindrical shells. The resulting equations and their applications to analyse the length-scale effect in some engineering problems were discussed in a large number of contributions, cf. [45-68]. The continuation and a certain extension of those investigations are the subject-matter of the present monograph. The starting point of considerations are the Euler-Lagrange equations generated by the Lagrange function describing behaviour of thin linear-elastic cylindrical shells in the framework of the well-known simplified Kirchhoff-Love second-order theory. The explicit form of these Euler-Lagrange equations coincides with the governing equations of the shell theory under consideration. For periodic shells, coefficients of these equations are highly oscillating non-continuous periodic functions. That is why the direct application of the equations to investigations of specific problems is non-effective even using computational methods. Using the tolerance, consistent asymptotic and combined modelling techniques to the starting equations, three kinds of new mathematical averaged models for the analysis of selected dynamic and stability problems in the thin linear-elastic biperiodic or uniperiodic cylindrical shells under consideration have been formulated. The obtained results can be summarized as follows: (1) New tolerance models (with constant coefficients depending on the period of heterogeneity) have been derived by applying a new approach to the tolerance modelling of microheterogeneous solids presented in Woźniak et al. (eds.) [76]. This approach is based on the tolerance averaging of lagrangians and then the governing tolerance model equations are obtained by using the principle of stationary action to the action functionals determined by the tolerance averaged lagrangians. Thus, the tolerance modelling of the starting equations leading to the new tolerance models for the periodic shells under consideration has been realized in two steps: (a) The first step is based on the tolerance averaging of the starting lagrangian under micro-macro decomposition and by applying the tolerance averaging approximation. The micro-macro decomposition is a fundamental assumption imposed on the lagrangian under consideration in the framework of the tolerance averaging approach. It states that the displacement fields occurring in this lagrangian have to conform to the periodic structure of the shells. Hence, they can be decomposed into unknown averaged displacements, being slowly-varying functions, and fluctuations inside a cell represented by known highly oscillating periodic fluctuation shape functions and by unknown slowly-varying fluctuation amplitudes. The fluctuation shape functions are solutions to certain periodic eigenvalue problems on the cell. The second aforementioned assumption called the tolerance averaging approximation states that in the course of modelling the terms of the orders of tolerance parameters are neglected. (b) In the second step, applying the principle of stationary action to the tolerance averaged action functional defined by means of averaged lagrangian, we arrive at the governing equations of tolerance models for the biperiodic or uniperiodic shells under consideration. Coefficients of these equations are constant and some of them depend on the microstructure length parameter (i.e. diameter of periodicity cell). It means that the resulting tolerance model equations describe the effect of the cell size on the overall shell dynamics and stability. (2) New consistent asymptotic models (with constant coefficients being independent of the microstructure cell size) have been derived by applying a certain new approach to the asymptotic modelling of microheterogeneous solids presented in Woźniak et al. (eds.) [76]. The consistent asymptotic modelling of the starting equations leading to the new consistent asymptotic models for the periodic shells under consideration has been realized in two steps: (a) The first step is based on the consistent asymptotic averaging of the starting lagrangian under the consistent asymptotic decomposition. This decomposition is a fundamental assumption imposed on the lagrangian under consideration in the framework of the consistent asymptotic approach. It states that the displacement fields occurring in the lagrangian have to be replaced by families of fields depending on small parameter ε = \lm,m = 1,2,... and defined in an arbitrary cell. These families of displacements are decomposed into averaged part independent of 8 and highly-oscillating part depending on e . The averaged part is described by unknown functions being continuously bounded in periodicity directions. The highly-oscillating part is represented by the known periodic fluctuation shape functions and by unknown functions being continuously bounded in directions of periodicity. (b) In the second step, applying the principle of stationary action to the consistent asymptotic action functional defined by means of the asymptotically averaged lagrangian we arrive at the governing equations of consistent asymptotic modes for the biperiodic or uniperiodic shells under consideration. Coefficients of these equations are constant. Contrary to the tolerance models, the consistent asymptotic models are not able to describe the length-scale effect on the overall shell dynamics and stability being independent of the microstructure cell size. (3) New combined models {with constant coefficients depending on the cell size) have been derived by applying the combined modelling which includes both the tolerance and asymptotic procedures; this technique has been presented in Woźniak et al. (eds.) [76]. The combined modelling of the starting equations leading to the new combined models for the periodic shells under consideration has been realized in two steps: (a) The first step is based on the consistent asymptotic procedure which leads from starting equations to the Euler-Lagrange equations with constant coefficients being independent of the microstructure cell size. Hence, the models obtained in the first step are referred to as the macroscopic models. Assuming that in the framework of the macroscopic models the solutions to the problems under consideration are known, we can pass to the second step. (b) The second step is based on the tolerance averaging of the starting lagrangian under so-called superimposed decomposition. Then, applying the principle of stationary action to the tolerance averaged action functional defined by means of the tolerance averaged lagrangian, we arrive at the Euler-Lagrange equations with constant coefficients, which depend on the cell size. Hence, the models obtained in the second step are referred to as the superimposed microscopic models. (c) Summarizing results given in points (3a) and (3b) we conclude that the equations of combined models for the biperiodic or uniperiodic shells under consideration consist of the macroscopic models equations formulated by means of the consistent asymptotic procedure which are combined with superimposed microscopic models equations derived by applying the tolerance modelling technique and under assumption that in the framework of the macroscopic model the solutions to the problems under consideration are known. It has to be emphasized that an important advantage of the combined models is that under special conditions imposed on the fluctuation shape functions they make it possible to separate the macroscopic description of some special problems from their microscopic description. It means that in the framework of the combined models we can study micro-dynamics of periodic shells under consideration independently of their macro-dynamics The governing equations of all models are uniquely determined by the periodic fluctuations shape functions representing oscillations inside a cell, which are assumed to be known in every problem under consideration and have to be previously calculated. In the present work, these function have been obtained as solutions to certain periodic eigenvalue problems describing free periodic vibrations of the cell. Hence, they represent either the principal modes of free periodic cell vibrations or physically reasonable approximation of these modes. It was shown that the approximate (simpler) forms of fluctuation shape functions are sufficient from the computational point of view. It has to be emphasized that the tolerance models for uniperiodic shells are not special cases of the tolerance models for biperiodic shells. Model equations for uniperiodic shells are more complicated that those for biperiodic shells and contain a lot of length-scale terms which do not have counterparts in the equations for biperiodic shells. The occurrence of these terms is strictly related to the fact that the modelling physical reliability conditions for uniperiodic shells are less restrictive then pertinent conditions for biperiodic shells. For uniperiodic shells we deal with functions which are slowly-varying in only one direction, whereas for biperiodic shells these functions are slowly-varying in two directions. Comparison of results obtained in the framework of the tolerance models with those derived from the asymptotic ones made it possible to evaluate the length-scale effect in some special problems of dynamics and stability for the periodic shells under consideration. The results can be summarized as follows: (1) Analysing some special problems of the shell dynamics it was shown that contrary to asymptotic models, the tolerance ones describes the effect of a cell size in these problems. In the framework of the tolerance models for periodic shells under consideration, not only the fundamental lower, but also the new additional higher-order free vibration frequencies can be derived and analysed. The higher free vibration frequencies depend on a cell size and hence cannot be determined applying asymptotic models commonly used for investigations of the shell dynamics. The differences between the fundamental lower free vibration frequencies derived from the tolerance models and free vibration frequencies obtained from the asymptotic models are negligible small. Thus, the effect of the microstructure length parameter on the fundamental lower free vibration frequencies of the shells under consideration can be neglected. Hence, the asymptotic models being more simple then the non-asymptotic ones are sufficient from the point of view of calculations made for the dynamic problems under consideration. (2) Studying some special problems of the shell stationary stability it was proved that contrary to asymptotic models, the tolerance ones describes the effect of a cell size in these problems. In the framework of the tolerance models for periodic shells under consideration, not only the fundamental lower, but also the new additional higher-order critical forces can be derived and analysed. The higher critical forces depend on a cell size and hence cannot be determined applying the asymptotic models. For periodic shells subjected to compressive forces either in both directions tangent to the shell midsurface or in only one direction, the differences between values of lower critical forces obtained from the tolerance models and those from asymptotic ones are negligibly small. Thus in this case the effect of a microstructure size on the shell stationary stability can be neglected and hence the asymptotic models are sufficient from the point of view of calculations made for the problem of determining the critical forces in periodically microheterogeneous cylindrical shells under consideration. The length-scale effect can not be neglected in the stability problems dealing with shells which are compressed in one direction tangent to the shell midsurface and at the same time are extended in the other direction. For a certain values of parameter representing the relation between extended and compressive forces these differences are very large; critical forces related to tolerance models are much smaller then those derived from asymptotic ones. It means that in this case the length-scale effect plays an important role and hence only the length-scale models have to be used to analyse the stability problem under consideration. (3) Examining some selected problems of the shell dynamic stability it was shown that contrary to asymptotic models, the tolerance ones describes the effect of a cell size in these problems. (a) Taking into account the effect of the period lengths on dynamic stability of the biperiodic shells under consideration, we arrive at the fourth-order ordinary differential frequency equation for the unknown function of time coordinate, which reduces to the well-known Mathieu equation after neglecting terms depending on the microstructure length parameter. On the contrary, within the asymptotic model the known Mathieu equation is obtained. It was shown that the differences between boundaries of two fundamental dynamic instability regions in biperiodic shells derived from both the tolerance and asymptotic models are large, particularly for high values of oscillation frequency of the axial compressive excitation forces. The length-scale effect is the biggest when this oscillation frequency is very close to the higher-order free vibration frequency depending on the cell size. Moreover, the new additional resonance frequencies for the axial compressive excitation forces were obtained. (b) Taking into account the effect of the microstructure length on a dynamic stability of the uniperiodic shells under consideration we arrive at the system of two the second-order ordinary differential frequency equations for the unknown functions of time coordinate, which can be treated as a certain generalization of the known Mathieu equation. This system reduces to the Mathieu equation provided that the period length is neglected. On the contrary, within the consistent asymptotic model the known Mathieu equation is obtained. Summarizing the above results, we conclude that the length-scale effect can not be neglected in the dynamic stability of the periodic shells under consideration. It was shown that the combined models for periodic shells under consideration, under special conditions imposed on the fluctuation shape functions, make it possible to analyse selected problems of the shell micro-dynamics independently of the shell macro-dynamics. The results can be summarized by the following remarks and conclusions: (1) For biperiodic shells, the free micro-vibration frequencies depending on a microstructure size have been derived independently of the free macro-vibration frequencies. Moreover, it was shown that the combined model equations for biperiodic shells describe certain time-boundary phenomena strictly related to the specific form of initial conditions imposed on micro-fluctuations of displacements. Hence, these equations are referred to as the boundary-layer equations, where the term „boundary” is related only to time. (2) For uniperiodic shells, we can analyse not only the time-boundary phenomena related to the specific form of initial conditions, but also the space-boundary phenomena related to the specific form of boundary conditions imposed on displacement micro-fluctuations. The harmonic micro-vibrations with micro-vibration frequency ω have been analysed. It was shown that the micro-dynamic behaviour of the shell is different for different values of vibration frequency ω . The micro-vibrations can decay exponentially, they can decay linearly, certain values of ω cause a non-decayed form of microvibrations (micro-vibrations oscillate), for certain values of ω we deal with resonance micro-vibrations. Moreover, the new higher free vibration frequency ω* dependent on a cell size has been obtained. (3) The problem of wave propagation in the uniperiodic shell unbounded in an axial direction has been analysed. The long waves, related to micro-fluctuation amplitude being unknown of independent combined model equation describing micro-dynamics of the shell in axial direction, have been studied. It was shown that the micro-periodic heterogeneity of the shell leads to exponential waves and to dispersion effects, which cannot be analysed in the framework of the asymptotic models for periodic shells. Moreover, the new wave propagation speed depending on the microstructure size has been obtained. All the above length-scale problems studied within the combined models cannot be analysed in the framework of the asymptotic models. The periodic shells being objects of considerations in this book are widely applied in civil engineering, most often as roof girders and bridge girders. They are also widely used as housings of reactors and tanks. Periodic shells having small length dimensions are elements of air-planes, ships and machines. The results obtained in this contribution are a certain generalization and extension of those presented in the earlier works of Author, cf. [45-68]. These results have an essential influence on the state of knowledge dealing with dynamic and stability behaviour of thin-walled micro-periodic cylindrical shells. They also generate new directions of further investigations. Thus, the results exert an influence on the development of this field of knowledge. It should be noted that recently a certain extended version of the tolerance modelling technique based on the notion of two kinds of slowly-varying functions {weakly slowly-varying and slowly-varying functions) has been proposed by Tomczyk and Woźniak [69]. For the first time it was shown in [69] that different specifications of slowly-varying functions in so-called the micro-macro decomposition of the displacement fields, being the important kinematic assumption of the tolerance modelling, lead to different macroscopic models for dynamics of periodic structures.

PL

Przedmiotem projektu są cienkie, liniowo-sprężyste powłoki walcowe typu Kirchhoffa-Love’a mające periodyczną strukturę w jednym lub dwóch kierunkach stycznych do powierzchni środkowej powłoki. Powłoki takie nazywamy kolejno uniperiodycznymi i biperiodycznymi. Przez strukturę periodyczną rozumiemy periodycznie zmienną grubość i/lub periodycznie zmienne własności sprężyste oraz inercyjne. Zakłada się, że charakterystyczny wymiar liniowy komórki periodyczności jest dostatecznie duży w porównaniu z maksymalną grubością powłoki oraz dostatecznie mały w porównaniu z minimalnym promieniem krzywizny oraz najmniejszym charakterystycznym wymiarem liniowym powierzchni środkowej. Klasycznym przykładem są powłoki walcowe wzmocnione żebrami periodycznie i gęsto rozmieszczonymi w kierunkach osiowym i obwodowym lub tylko w jednym z tych kierunków. Opis takich powłok, w ramach znanej teorii Kirchhoffa-Love’a, prowadzi do równań, których współczynniki są periodycznymi, silnie oscylującymi i często nieciągłymi funkcjami współrzędnych parametryzujących powierzchnię środkową powłoki. Stąd równania te nie mogą być wprost zastosowane do analizy zagadnień inżynierskich. Formułowane są zatem różne przybliżone metody modelowania (tj. procedury uśredniające) prowadzące od równań różniczkowych cząstkowych z silnie oscylującymi współczynnikami do równań o współczynnikach stałych lub wolnozmiennych. Modele uśrednione powłok (płyt) periodycznych są najczęściej otrzymywane na drodze homogenizacji asymptotycznej. Jednakże modele te pomijają wpływ wielkości komórki periodyczności na globalne (makroskopowe) zachowania powłoki, tzn. pomijają efekt skali. Efekt ten jest uwzględniony w równaniach modeli sformułowanych na drodze tzw. homogenizacji wyższego rzędu. Jednakże ze względu na duże trudności natury obliczeniowej, modele te nie są stosowane do rozwiązywania zagadnień inżynierskich. Periodycznie, gęsto użebrowane powłoki są także modelowane jako ciągle, jednorodne struktury o tzw. ortotropii konstrukcyjnej. Modele ortotropowe także nie uwzględniają wpływu długości okresu niejednorodności struktury na globalne właściwości mechaniczne powłok, a tym samym nie mogą być zastosowane do analizy dodatkowych, tzw. wyższych częstości drgań oraz wyższych sił krytycznych związanych z efektem skali czy też do badań wpływu wielkości komórki na propagację fal w powłokach periodycznych. Alternatywne, nieasymptotyczne podejście do matematycznego modelowania ciał periodycznych i tolerancyjnie-periodycznych, oparte na pojęciu tolerancji (pojęcie związane z dokładnością prowadzonych pomiarów lub obliczeń) i prowadzące do modeli o stałych lub wolnozmiennych współczynnikach zależnych od wielkości komórki, zostało zaproponowane i rozwijane przez prof. Czesława Woźniaka w wielu publikacjach i podsumowane w monografiach [74-76]. Metoda ta, zwana techniką tolerancyjnego modelowania, została zaadaptowana przez B. Tomczyk do wyprowadzenia nowych, uśrednionych, nieasympto-tycznych modeli, służących do analizy zagadnień szczególnych dynamiki oraz stacjonarnej i dynamicznej stateczności walcowych powłok periodycznych. Równania tych modeli, zwanych tolerancyjnymi, oraz ich zastosowanie do analizy efektu skali w dynamice i stateczności powłok periodycznych zaprezentowano w wielu publikacjach i podsumowano w mono-grafii [75] pod redakcją Cz. Woźniaka, B. Michalaka i J. Jędrysiaka. Celem niniejszej pracy była kontynuacja i rozszerzenie tych badań. Zaprezentowano nowe modele tolerancyjne i asymptotyczne periodycznych powłok walcowych, które zostały wyprowadzone w oparciu o nowe podejścia do modelowania tolerancyjnego oraz modelowania asymptotycznego mikroniejednorodnych ciał, zaproponowane w 2010 roku przez prof. Cz. Woźniaka w książce [76]. Te sformułowane w niniejszej rozprawie nowe modele matematyczne pozwoliły na bardziej szczegółową analizę wpływu komórki periodyczności na dynamikę i stateczność analizowanych powłok. Zaprezentowano takie nowe „combined” modele (termin polski nie został wprowadzony) otrzymane poprzez połączenie ze sobą technik tolerancyjnego i asymptotycznego modelowania w jedną nową procedurę. „Combined” modele umożliwiają badanie mikrodynamiki periodycznych powłok walcowych niezależnie od ich makrodynamiki. Równania modeli, wyprowadzone w niniejszej monografii, mają stałe współczynniki. Ponadto współczynniki równań modeli tolerancyjnych oraz „combined” modeli zależą od długości okresu periodyczności struktury. Komentarze i wnioski dotyczące sformułowanych modeli matematycznych są następujące: • Wyprowadzono nowe modele tolerancyjne. Procedura tolerancyjnego modelowania jest realizowana w dwóch etapach. Pierwszy etap polega na tolerancyjnym uśrednianiu funkcji Lagrange’a opisującej dynamiczne i statecznościowe zachowania cienkich sprężystych powłok walcowych w ramach teorii Kirchhoffa-Love’a drugiego rzędu. W procedurze tolerancyjnego uśredniania wykorzystuje się pojęcia: parametru tolerancji, funkcji tolerancyjnie periodycznej, funkcji wolno-zmiennej, fluktuacyjnej funkcji kształtu, operatora uśredniania. Wprowadza się założenie kinematyczne zwane mikro-makro dekompozycją pól przemieszczeń występujących w lagrangianie. Zgodnie z tym założeniem przemieszczenia powłoki są przedstawione w postaci sumy nieznanych uśrednionych na komórce przemieszczeń, będących funkcjami wolno-zmiennymi (tzn. przyjmującymi w ramach tolerancji stałe wartości na komórce), oraz silnie oscylujących fluktuacji wywołanych periodyczną budową powłoki. Fluktuacje są opisane przez znane w każdym analizowanym zagadnieniu liniowo niezależne, periodyczne fluktuacyjne funkcje kształtu pomnożone przez nieznane wolnozmienne funkcje, zwane amplitudami fluktuacji. Po wprowadzeniu mikro-makro dekompozycji do wyjściowego lagrangianu, uśrednia się otrzymany wynik, stosując operator uśredniania oraz wykorzystując przybliżenia tolerancyjne wynikające bezpośrednio z definicji funkcji wolno-zmiennej i fluktuacyjnej funkcji kształtu. W drugim etapie, stosując zasadę stacjonarności działania do funkcjonału działania zdefiniowanego poprzez tolerancyjnie uśrednioną funkcję Lagrange’a, otrzymuje się równania modeli tolerancyjnych dla rozważanych periodycznych powłok. Otrzymane równania Eulera-Lagrange’a przedstawiono także w ich jawnej postaci, tj. w postaci relacji konstytutywnych oraz równań równowagi dynamicznej. Niewiadomymi tych równań są uśrednione przemieszczenia (makroprzemieszczenia) i amplitudy fluktuacji. Równania modeli tolerancyjnych mają stale współczynniki, w przeciwieństwie do równań wyjściowych dla badanych powłok niejednorodnych mających współczynniki periodyczne, silnie oscylujące i nieciągłe. Ponadto współczynniki równań modeli tolerancyjnych zależą od parametru długości mikrostruktury. Stąd modele te umożliwiają badanie wpływu wielkości komórki na dynamikę i stateczność powłok. • Wyprowadzono nowe modele asymptotyczne zwane konsystentnymi. Po założeniu postaci asymptotycznej dekompozycji pól przemieszczeń powłoki, procedurę asymptotycznego uśredniania zastosowano do znanej funkcji Langrange’a opisującej dynamiczne i statecznościowe zachowania cienkich sprężystych powłok walcowych w ramach teorii Kirchhoffa-Love’a drugiego rzędu. Następnie, po zastosowaniu zasady stacjonarności działania do całki działania determinowanej uśrednioną asymptotycznie funkcją Lagrange’a, otrzymano równania modeli asymptotycznych rozważanych powłok. Równania te mają stałe łub wolnozmienne współczynniki, w przeciwieństwie do równań wyjściowych dla badanych powłok niejednorodnych mających współczynniki silnie oscylujące i nieciągłe. Współczynniki równań modeli asymptotycznych nie zależą od parametru długości mikrostruktury. Wymieniona wyżej asymptotyczna dekompozycja pól przemieszczeń ciała jest podstawowym kinematycznym założeniem w technice asymptotycznego konsystentnego modelowania ciał periodycznie mikroniejednorodnych. Zgodnie z tym założeniem, przemieszczenia powłoki występujące w wyjściowym lagrangianie zostały zastąpione rodzinami pól przemieszczeń zdefiniowanymi na komórce i zależnymi od małego parametru ε-1/m, m = l,2,..., a następnie rodziny te zostały rozłożone na nieznane przemieszczenia niezależne od małego parametru oraz silnie oscylujące przemieszczenia zależne od ε . Te silnie oscylujące przemieszczenia są reprezentowane przez znane periodyczne, liniowo niezależne fluktuacyjne funkcje kształtu zależne od ε oraz przez nieznane funkcje niezależne od ε , które (tak, jak w podejściu tolerancyjnym) zwane są amplitudami fluktuacji. W podejściu asymptotycznym konsystentnym nie wprowadza się pojęcia funkcji wolnozmiennej. Żąda się jedynie, aby występujące w asymptotycznej dekompozycji funkcje niezależne od ε były ciągłe i ograniczone w kierunkach periodyki wraz z ich odpowiednimi pochodnymi. Niezależność wyżej wymienionych funkcji od małego parametru ε stanowi zasadniczą różnicę między podejściem asymptotycznym konsystentnym a podejściem stosowanym w znanych teoriach homogenizacji asymptotycznej. Ponadto, proponowane modele asymptotyczne, w przeciwieństwie do powszechnie stosowanych modeli tego typu, nie wymagają rozwiązywania skomplikowanych analitycznie brzegowych zagadnień na komórce w celu wyznaczenia efektywnych sztywności powłoki. W zastosowanym podejściu asymptotycznym moduły efektywne są rozwiązaniem układu równań algebraicznych liniowych dla nieznanych amplitud fluktuacji. • Wyprowadzono „combined” modele periodycznie mikroniejednorodnych cienkich powłok walcowych. Na znane rozwiązanie w ramach modelu makroskopowego (tj. asymptotycznego konsystentnego) powłoki, które jest niezależne od długości okresu periodyczności mikrostruktury, nałożono model mikroskopowy (tolerancyjny) uwzględniający efekt skali. Główną zaletą tych modeli jest to, ze umożliwiają badanie mikrodynamiki periodycznych powłok niezależnie od ich makrodynamiki. Modele te zostały wykorzystane do analizy mikrodrgań uni- i biperiodycznie użebrowanych powłok, do analizy zagadnień propagacji fal z uwzględnieniem zjawiska dyspersji oraz do badania tzw. efektów warstwy brzegowej, gdzie termin „brzeg” odnosi się zarówno do przestrzeni, jak i czasu. Należy podkreślić, że przy zastosowaniu niesymptotycznego podejścia w modelowaniu, powłoki uniperiodyczne nie są szczególnym przypadkiem powłok biperiodycznych. Równania nieasymptotycznych modeli powłok z jedno- i dwukierunkową strukturą periodyczną muszą być wyprowadzane niezależnie. Wykazano, że uzyskane w podejściu nieasymptotycznym równania modeli powłok uniperiodycznych są inne jakościowo, bardziej rozbudowane i złożone w porównaniu z równaniami modeli powłok periodycznych dwukierunkowo. Wynika to z faktu przyjęcia znacznie słabszych założeń wyjściowych w procedurze modelowania w porównaniu do założeń wyjściowych dla powłok biperiodycznych. Porównywanie wyników otrzymywanych z modeli tolerancyjnych z korespondującymi wynikami uzyskiwanymi w ramach modeli asymptotycznych pozwoliło ocenić efekt skali w szczególnych zagadnieniach dynamiki i stateczności powłok. Komentarze i wnioski są następujące: • Analizując dynamikę powłok w ramach modeli tolerancyjnych, otrzymano wzory analityczne nie tylko na podstawowe, tzw. niższe częstości drgań własnych, ale również na nowe, dodatkowe, tzw. wyższe częstości drsań własnych zależne od parametru długości mikrostruktury. Wyższe częstości umożliwiają analizę drgań wyższego rzędu oraz zjawiska dyspersji. Te nowe wyższe częstości drgań nie mają swoich odpowiedników w modelach asymptotycznych oraz w modelach numerycznych, opartych np. na metodzie elementów skończonych. Wykazano, że wartości niższych częstości drgań własnych obliczane według modeli tolerancyjnych są pomijalnie większe od wartości odpowiednich częstości drgań otrzymanych w ramach modeli asymptotycznych. Uwzględnienie efektu skali powoduje więc jedynie nieznaczną, nie mającą praktycznego znaczenia korektę wartości częstości drgań. Oznacza to, że efekt skali w zagadnieniach dotyczących drgań własnych analizowanych powłok jest pomijalnie mały z obliczeniowego punktu widzenia. Zagadnienia te mogą być analizowane w ramach modeli asymptotycznych (prostszych analitycznie od modeli z efektem skali). • Analizując stateczność stacjonarną powłok w ramach modeli tolerancyjnych, otrzymano wzory analityczne nie tylko na podstawowe, tzw. niższe siły krytyczne, ale również na nowe, dodatkowe, tzw. wyższe siły krytyczne zależne od parametru długości mikrostruktury. Te nowe jakościowo rezultaty nie mają swoich odpowiedników w modelach asymptotycznych oraz w modelach numerycznych. Wykazano, że efekt skali może być pominięty przy badaniu stateczności periodycznych powłok ściskanych w kierunku osiowym. W zagadnieniu tym, wartości niższych sił krytycznych, obliczane według modeli tolerancyjnych, są pomijalnie mniejsze od wartości odpowiednich sił krytycznych otrzymanych w ramach modeli asymptotycznych. Uwzględnienie efektu skali powoduje więc jedynie nieznaczną, nie mającą praktycznego znaczenia korektę wartości sił krytycznych. Zagadnienie to może być więc rozwiązywane w ramach modeli asymptotycznych. Wykazano, że efekt skali jest bardzo istotny w tych zagadnieniach stateczności stacjonarnej, w których otwarta użebrowana powłoka jest ściskana w kierunku osiowym i jednocześnie rozciągana w kierunku obwodowym. Dla pewnych wartości parametru będącego stosunkiem sił rozciągających do sił ściskających, wartości sił krytycznych otrzymane w ramach modeli tolerancyjnych są znacznie mniejsze od wartości sił krytycznych otrzymanych z modeli asymptotycznych. Istotne różnice występują, gdy wartość siły ściskającej zbliża się do wartości siły rozciągającej. • Modele tolerancyjne i asymptotyczne wyprowadzone w niniejszej rozprawie zastosowano do analizy drgań parametrycznych i stateczności dynamicznej powłok biperiodycznie użebrowanych. Punktem wyjścia w analizie problemów drgań parametrycznych i stateczności dynamicznej jest równanie częstości. Wykazano, że wzięcie pod uwagę efektu skali w tych zagadnieniach prowadzi do równania częstości będącego równaniem różniczkowym zwyczajnym czwartego rzędu dla nieznanej funkcji czasu. Współczynniki tego równania zawierają wyższe częstości drgań własnych i wyższe siły krytyczne zależne od długości okresu periodyczności struktury. Równanie to może być traktowane jako pewne uogólnienie klasycznego równania częstości, tzw. równania Mathieu (równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu dla nieznanej funkcji czasu). Po zaniedbaniu efektu skali, otrzymane równanie częstości redukuje się do równania Mathieu. Dla powłoki ściskanej w kierunku osiowym przez siły zależne od czasu określono granice pierwszych dwóch (najważniejszych z inżynierskiego punktu widzenia) obszarów niestateczności dynamicznej (tj. obszarów rezonansu parametrycznego), zależne od wielkości komórki. Otrzymano także dodatkowe, nowe warunki na istnienie rezonansu parametrycznego: p = 2ω* dla pierwszego obszaru rezonansu parametrycznego oraz p = ω* dla drugiego, gdzie p - częstość oscylacji osiowych sił ściskających, wymuszających drgania, ω* - wyższa częstość drgań własnych, zależna od długości okresu periodyczności struktury. Relacje na granice obszarów niestateczności dynamicznej, otrzymane w ramach ogólnego modelu tolerancyjnego, porównano z korespondującymi wynikami z modelu asymptotycznego (równanie częstości wyprowadzone z modelu asymptotycznego miało postać znanego równania Mathieu). Wykazano, że różnice między wynikami rosną wraz ze wzrostem wartości częstości oscylacji p osiowych sił ściskających wzbudzających drgania oraz ze zmniejszaniem się wyższej częstości drgań własnych co*, zależnej od wielkości komórki. Dla dużych wartości p, efekt skali odgrywa bardzo ważną rolę i nie może być pominięty. Efekt skali jest największy, gdy częstość oscylacji jest bliska częstości ω*. Oznacza to, że efekt skali ma duży wpływ na statecznościowe zachowania konstrukcji powłokowych wykonanych z materiałów o bardzo wysokiej wytrzymałości, przenoszących drgania o bardzo wysokich częstotliwościach, obciążonych siłami o bardzo wysokich częstościach oscylacji. • Biorąc pod uwagę wpływ długości mikrostruktury na drgania para metryczne i stateczność dynamiczną powłok uniperiodycznie użebrowanych w kierunku obwodowym, otrzymano układ dwóch równań częstości będących równaniami różniczkowymi zwyczajnymi drugiego rzędu dla nieznanych funkcji czasu. W wyprowadzonych równaniach występują współczynniki zależne od efektu skali. Współczynniki te zawierają nowe, dodatkowe wyższe częstości drgań własnych oraz nowe, dodatkowe wyższe siły krytyczne, związane z efektem skali. Równania te mogą być traktowane jako pewne uogólnienie znanego równania Mathieu, będącego punktem wyjścia w analizie drgań parametrycznych i dynamicznej stateczności wielu struktur (np. belek, płyt, powłok). Otrzymany układ równań częstości redukuje się do równania Mathieu po odrzuceniu wyrazów zależnych od wielkości komórki. Natomiast w ramach modelu asymptotycznego powłoki uniperiodycznej otrzymano równanie częstości w postaci klasycznego równania Mathieu. Wyprowadzone „combined” modele wykorzystano do analizy zagadnień mikrodynamiki powłok mikroperiodycznie użebrowanych. Modele te umożliwiają badanie mikrodynamiki powłok niezależnie od ich makrodynamiki. Wyniki i wnioski są następujące: • Dla powłok uni- oraz biperiodycznie użebrowanych, wyprowadzono wzory na częstości mikrodrgań własnych w kierunkach stycznych oraz normalnym do powierzchni środkowej, zależne od parametru długości mikrostruktury. Pokazano, że istnieją zagadnienia szczególne, w których mikrodrgania własne w kierunkach osiowym i obwodowym rozprzęgają się z mikrodrganiami w kierunku normalnym do powierzchni środkowej użebrowanej powłoki Pokazano także, że istnieją zagadnienia szczególne, w których mikrodrgania w kierunku osiowym rozprzęgają się z mikrodrganiami w kierunku obwodowym. Nowe wyniki uzyskano analizując szczególny problem początkowy mikrodynamiki powłok biperiodycznie uiebrowanych, opisany równaniem dla amplitud fluktuacji w kierunku osiowym, będącym równaniem różniczkowym zwyczajnym drugiego rzędu z pochodnymi względem czasu. Problem ten ilustruje wpływ wielkości komórki na charakter mikrofluktuacji przemieszczeń w kierunku osiowym, przy przyjętych warunkach początkowych. Pokazano, że w zależności od relacji między pewnym parametrem długości / niezależnym od wielkości komórki a parametrem długości mikrostruktury ‘K, mikrofluktuacje przemieszczeń w kierunku osiowym mają różny charakter w badanym przedziale czasu: dla l < λ maleją monotonicznie i bardzo łagodnie i nie przyjmują wartości zero w badanym przedziale czasu, dla l = λ mikrofluktuacje maleją monotonicznie i na końcu badanego przedziału czasu są równe zeru, dla l > λ mikrofluktuacje zanikają monotonicznie i silnie w pewnym podprzedziale badanego przedziału czasu, a następnie absolutne wartości mikrofluktuacji rosną monotonicznie w pozostałej części tego przedziału czasu. • Analizując harmoniczne mikrodrgania w kierunku osiowym z częstością co (rozprzęzone z mikrodrganiami w kierunkach obwodowym i normalnym), uzyskano nowe wyniki w teorii mikrodrgań powłok z podłużnymi żebrami periodycznie rozmieszczonymi w kierunku obwodowym. Pokazano, że w zależności od relacji między częstością drgań harmonicznych ω a wyższą częstością mikrodrgań własnych ω*, zależną od długości okresu periodyczności struktury, występują różne postaci mikrodrgań: mikrodrgania zanikają exponencjalnie lub liniowo; pewne wartości ω powodują niezanikającą (tj. oscylującą) postać mikrodrgań; dla pewnych wartości ω mamy do czynienia z mikrodrganiami rezonansowymi. Powyższe efekty nie występują w powłokach biperiodycznie użebrowanych. • Nowe wyniki uzyskano badając zagadnienia propagacji fal długich w nieograniczonych w kierunku osiowym powłokach uniperiodycznych. Badane fale odnosiły się tylko do fluktuacyjnych części przemieszczeń zależnych od efektu skali. Pokazano, że w zależności od ograniczeń nałożonych na prędkość propagacji fał mogą propagować się trzy typy fał: sinusoidalna lub exponencjalna, lub występuje zdegenerowany przypadek rozgraniczający fale sinusoidalne i exponencjalne. Wyprowadzono relacje dyspersji. Wyprowadzono nową prędkość propagacji fał zależną od parametru długości mikrostruktury. Wszystkie przedstawione powyżej efekty, uzyskane w ramach „combined” modeli, nie mogą być analizowane w ramach asymptotycznych modeli powłok, jak również przy użyciu znanych programów komputerowych. W rozprawie przeprowadzono analizę porównawczą dokładnych i przybliżonych postaci fluktuacyjnych funkcji kształtu, reprezentujących od strony jakościowej fluktuacje pól przemieszczeń powierzchni środkowej powłoki spowodowane jej periodyczną budową. Postaci dokładne wyznaczono jako rozwiązanie periodycznego zagadnienia własnego na komórce, odnoszącego się do drgań własnych komórki w kierunkach stycznych i normalnym do powierzchni środkowej. Postaci przybliżone wyznaczono jako fizycznie poprawną aproksymację tego rozwiązania. Wykazano, że stosowanie przybliżonych (prostszych) postaci fluktuacyjnych funkcji kształtu, zamiast ich skomplikowanych postaci dokładnych, jest wystarczające z obliczeniowego punktu widzenia. Przybliżone postaci tych funkcji w sposób istotny upraszczają obliczenia inżynierskie. Wyprowadzone w niniejszej pracy modele periodycznie mikroniejedno-rodnych powłok walcowych mogą być wykorzystane do badań dynamiki i stateczności powłokowych elementów konstrukcyjnych mostów i dachów, powłokowych elementów reaktorów, powłokowych elementów samolotów, okrętów, maszyn. Formułowanie nowych modeli do analizy zagadnień szczególnych dynamiki i stateczności periodycznie mikroniejednorodnych powłok walcowych oraz stosowanie ich do badania efektu skali w tych zagadnieniach było tematem wielu publikacji Autorki, zob. [45-68]. Celem niniejszej pracy była kontynuacja i rozszerzenie tych badań. Uzyskane wyniki mają istotny wpływ na stan wiedzy dotyczącej dynamicznych i statecznościowych zachowań cienkościennych powłok walcowych o strukturze periodycznie mikroniejednorodnej, a także generują nowe kierunki badań i tym samym wywierają wpływ na rozwój tej dziedziny wiedzy. Dalsze badania periodycznych powłok walcowych z wykorzystaniem techniki tolerancyjnego modelowania mogą dotyczyć zagadnień nieliniowych, problemów termodynamiki, modelowania powłok o strukturze tolerancyjnie periodycznej, formułowania modeli w ramach teorii dokładniejszych niż teoria Kirchhoffa-Love’a.

Słowa kluczowe

EN

periodic plates; building coatings; structural analysis; cylindrical shell

PL

płyty periodyczne; powłoki budowlane; statyka budowli; powłoka walcowa

• Wydawca: Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej
• Czasopismo: Zeszyty Naukowe. Rozprawy Naukowe / Politechnika Łódzka
• Rocznik: 2013
• Tom: Z. 466
• Strony: 1--163
• Opis fizyczny: Bibliogr. 77 poz., rys.

Twórcy

autor

Tomczyk B.

• Politechnika Łódzka. Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Środowiska, Katedra Mechaniki Konstrukcji

Bibliografia

• [1] Ambartsumyan S.A.: Theory of anisotropic shells. Nauka, Moscow 1974 (in Russian).
• [2] Awrejcewicz J., Andrianov I., Manevitch L.: Asymptotical mechanics of thinwalled structures, Springer, Berlin 2004.
• [3] Bakhvalov N.C., Panasenko G.P.: Averaging processes in periodic media. Nauka, Moscow 1984 (in Russian).
• [4] Baron E.: On dynamic stability of an uniperiodic medium thickness plate band. J. Theor. Appl. Mech., 41, 2, 305-321, 2003.
• [5] Baron E.: On dynamic behaviour of medium thickness plates with uniperiodic structure. Arch. Appl. Mech., 73, 505-516, 2003.
• [6] Baron E.: Mechanics of periodic medium thickness plates. Sci. Bul. Silesian Tech. Univ., No 1734, Gliwice 2006 (in Polish).
• [7] Bensoussan A., Lions J.L., Papanicolau G.: Asymptotic analysis for periodic structures. North-Holland, Amsterdam 1978.
• [8] Brush D.O., Almroth B.O.: Buckling of bars, plates and shells. McGraw-Hill, New York 1975.
• [9] Caillerie D.: Thin elastic and periodic plates. Math. Methods Appl. Sci., 6, 159- 191, 1984.
• [10] Cielecka I.: On continuum modelling the dynamic behaviour of certain composite lattice-type structures. J. Thoer. Appl. Mech., 33, 351-359, 1995.
• [11] Cielecka I., Woźniak M., Woźniak Cz.: Elastodynamic behaviour of honeycomb cellular media. J. Elasticity, 60, 1-17, 2000.
• [12] Fichera G.: Is the Fourier theory of heat propagation paradoxical? Rendiconti del Circolo Mathematico di Palermo 1992.
• [13] Fish J., Wen Chen.: Higher-order homogenization of initial/boundary-value problems. J. Engng. Mech., 1223-1230, 2001.
• [14] Grigoliuk I, Kabanov V.V.: The shell stability. Nauka. Moscow 1978 (in Russian).
• [15] Jędrysiak J.: The length-scale effect in the buckling of thin periodic plates resting on a periodic Winkler foundation. Meccanica, 38, 435-451, 2003.
• [16] Jędrysiak J.: Free vibrations of thin periodic plates interacting with an elastic periodic foundation. Int. J. Mech. Sci., 45, 1411-1428, 2003.
• [17] Jędrysiak J.: The tolerance averaging model of dynamic stability of thin plates with one-directional periodic structure. Thin-Walled Struct., 45, 855-860, 2007.
• [18] Jędrysiak J.: Higher order vibrations of thin periodic plates. Thin-Walled Struct., 47, 8-9, 890-901, 2009.
• [19] Jędrysiak J.: Thermomechanics of laminates, plates and shells with functionally graded properties. Lodz Technical University Press, Lodz 2010 (in Polish).
• [20] Jikov. V.V., Kozlov C.M., Olejnik O.A.: Homogenization oh differential operators and integral functionals. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg 1994.
• [21] Kalamkarov A. L.: On determination of effective characteristics of lattice shells and plates with periodic structure. Mekh. Tv. Tela, 2, 191-185, 1987 (in Russian).
• [22] Kaliski S. [ed.].: Vibrations. PWN-Elsevier, Warsaw-Amsterdam 1992.
• [23] Kohn R.V., Vogelius M.: A new model of thin plates with rapidly varying thickness. Int. J. Solids Struct., 20, 333-350, 1984.
• [24] Lewiński T.: Homogenizing stiffness of plates with periodic structures. Int. J. Solids Struct., 21, 309-326, 1992.
• [25] Lewiński T., Kucharski S.: A model with length scales for composites with periodic structure. Steady state heat conduction problem. Comp. Mech., 9, 249-265, 1992.
• [26] Lewiński T., Telega J.J.: Asymptotic metod of homogenization of two models of elastic shells. Arch. Mech., 40, 705-723, 1998.
• [27] Lewiński T., Telega J.J.: Plates, laminates and shells. Asymptotic analysis and homogenization. Word Scientific Publishing Company, Singapore 2000.
• [28] Lutoborski A.: Homogenization of linear elastic shells. J. Elasticity, 15, 69-87, 1985.
• [29] Matysiak S.J., Nagórko W.: On the problem of microperiodic multilayered plates. Mech. Res. Comm., 15, 389-396, 1988.
• [30] Matysiak S.J., Nagórko W.: Microlocal parameters in the modelling of microperiodic multilayered elastic plates. Ing. Arch., 59, 434-444, 1989.
• [31] Mazur-Śniady K.: Macro-dynamics of micro-periodic elastic beams. J. Theor. Appl. Mech., 31, 4, 781-793, 1993.
• [32] Michalak B.: Analysis of dynamic behaviour of wavy-plates with a mezzoperiodic structure. J. Theor. Appl. Mech., 39, 947-958, 2001.
• [33] Michalak B.: Dynamics and stability of wavy-type plates. Sci. Bul. Lodz Tech. Univ., No 881, Lodz 2001 (in Polish).
• [34] Michalak B., Woźniak Cz., Woźniak M.: The dynamic modelling of elastic wavy plater. Arch. Appl. Mech., 66, 177-186, 1996.
• [35] Nagórko W.: Selected methods of modelling of elastic plates. Warsaw University of Life Sciences Press, Warsaw 2008.
• [36] Nagórko W.: Asymptotic modelling in elastodynamics of FGM. In: Woźniak Cz., et al. (eds.) Mathematical modelling and analysis in continuum mechanics of microstructured media. Silesian Technical University Press, Gliwice, 133-141, 2010.
• [37] Nagórko W., Woźniak Cz.: Nonasymptotic modelling of thin plates reinforced by a system of stiffeners. Electronic J. Polish Agric. Univ., Civil Engineering, 5, 2, 2002, www.ejpau.media.pl
• [38] Ostrowski P., Michalak B.: Non-stationary heat transfer in hollow cylinder with functionally graded material properties. J. Theor. Appl. Mech., 49, 2, 385-397, 2011.
• [39] Panasenko G.P.: Asymptotic analysis of bar systems. Russian J. of Math. Physics, 2, 325-335, 1991.
• [40] Radzikowska A., Jędrysiak J.: Some problems of heat conduction in transversally graded composites. PAMM, 9,361-362, 2009.
• [41] Rychlewska J., Woźniak Cz.: Boundary layer phenomena in elastodynamics of functionally graded laminates. Arch. Mech., 58, 4-5, 1-14, 2006.
• [42] Sanchez-Palencia E.: Non-homogeneous media and vibration theory. Lecture Notes in Physics, 127, Springer-Verlag, Berlin 1980.
• [43] Schrefler B.A., Lefik M.: Use of homogenization method to build a beam element with capture thermo-mechanical microscale properties. Struct. Engng. Mech., 4, 6, 613-630, 1996.
• [44] Szymczyk J., Woźniak Cz.: Continuum modelling of laminates with a slowly graded microstructure. Arch. Mech., 58, 4-5, 445-458, 2006.
• [45] Tomczyk B.: Length-scale versus asymptotic model in dynamics of thin substructured cylindrical shells. Visnyk Lviv Univ., Ser. Mech-Math., 55, 40-50, 1999.
• [46] Tomczyk B.: On the modelling of thin uniperiodic cylindrical shells. J. Theor. Appl. Mech., 41, 755-774, 2003.
• [47] Tomczyk B.: Length-scale versus homogenized model in stability of uniperiodic cylindrical shells. Appl. Problems Mech. Math., 1, 150-155, 2003.
• [48] Tomczyk B.: On stability of thin periodically densely stiffened cylindrical shells. J. Theor. Appl. Mech., 43, 427-455, 2005.
• [49] Tomczyk B.: Length-scale effect in stability of thin periodically stiffened cylindrical shells. In: Pietraszkiewicz C. and Szymczak C (eds.) Shell Structures: Theory and Applications. Taylor and Francis Group, London, 273-277, 2005.
• [50] Tomczyk B.: A non-asymptotic model of periodic cylindrical shells. In: Awrejcewicz J., Sendkowski D., Mrozowski J. (eds.) Dynamical Systems - Theory and Applications, Lodz, 809-818, 2005.
• [51] Tomczyk B.: On the effect of period lengths on dynamic stability of thin biperiodic cylindrical shells. Electronic J. Polish Agric. Univ., Civil Engineering, 9, 3, 2006, www.ejpau.media.pl
• [52] Tomczyk B.: On dynamics and stability of thin periodic cylindrical shells. Diff. Eqs. Nonlin. Mech., ID 79853, 1-23, Hindawi Publishing Corporation, 2006.
• [53] Tomczyk B.: Length-scale effect in dynamic stability problems for ribbed shell. In: Pauk V. (ed) Mechanics of Solids and Structures, Part II-Dynamics of Structures, Kielce, 91-109, 2007.
• [54] Tomczyk B.: A non-asymptotic model for the stability analysis of thin biperiodic cylindrical shells. Thin-Walled Structures, 45, 941-944, 2007.
• [55] Tomczyk B.: Vibrations of thin cylindrical shells with a periodic structure. PAMM, 8, 1, 10349-10350, 2008 (Online Journal published by Wiley InterScience).
• [56] Tomczyk B.: Thin cylindrical shells. In: Woźniak Cz., Jędrysiak J., Michalak B., (eds.) Thermomechanics of Microheterogeneous Solids and Structures. Tolerance Averaging Approach, Part II: Model Equations, Lodz Technical University Press, Lodz, 165-175, 2008 (Chapter 14).
• [57] Tomczyk B.: Thin cylindrical shells. In: Woźniak Cz., Jędrysiak J., Michalak B., (eds.) Thermomechanics of Microheterogeneous Solids and Structures. Tolerance Averaging Approach, Part III: Selected Problems, Lodz Technical University Press, Lodz, 165-175, 2008 (Chapter 25).
• [58] Tomczyk B.: Micro-vibrations of thin cylindrical shells with an uniperiodic structure. PAMM, 9, 1, 267-268, 2009 ( Online Journal published by Wiley InterScience).
• [59] Tomczyk B.: Dynamical stability of uniperiodically ribbed cylindrical shells. Proceedings (CD of Full Papers) of 7th EUROMECH Solid Mechanics Conference, Lisbon, Portugal, September 7-13, 2009.
• [60] Tomczyk B.: Dynamic stability of micro-periodic cylindrical shells. Mechanics and Mechanical Engineering, 14, 2, 137-150, 2010.
• [61] Tomczyk B.: On the modelling of dynamic problems for biperiodically stiffened cylindrical shells. Civil and Environmental Engineering Reports, 5, 179-204, 2010.
• [62] Tomczyk B.: Combined modelling of periodically stiffened cylindrical shells. In: Woźniak Cz., Kuczma M., Świtka R., Wilmański K. (eds.) Advances in the Mechanics of Inhomogeneous Media, Zielona Gora, Zielona Gora University Press, 79-97, 2010 (Chapter 6).
• [63] Tomczyk B.: On micro-dynamics of reinforced cylindrical shells. In: Woźniak Cz. et al. (eds.) Mathematical Modelling and Analysis in Continuum Mechanics of Microstructured Media, Gliwice, Silesian Technical University Press, 121-135, 2010 (Chapter 10).
• [64] Tomczyk B.: A combined model for problems of dynamics and stability of biperiodic cylindrical shells. In: Wilmański K., Michalak B., Jędrysiak J. (eds.) Mathematical Methods in Continuum Mechanics, Lodz, Technical University of Lodz Press, 331-355, 2011 (Chapter 22).
• [65] Tomczyk B.: Length-scale effect in stability problems for micro-periodically stiffened cylindrical shells. In: J. Fan et al. (eds.) Advances in Heterogeneous Material Mechanics, published by DEStech Publications, Lancaster, USA., 385- 388, 2011 (ISBN No. 978-1-60595-054-9).
• [66] Tomczyk B.: Microdynamics of periodically stiffened cylindrical shells. Proceedings (full papers) of the International Conference on Engineering and Applied Science, Beijing, China, 24-27 July, 1021-1042, 2012.
• [67] Tomczyk B.: Length-scale effect in stability problems for biperiodically stiffened cylindrical shells. Sci. Bul. Lodz Tech, No. 64(1112), 25-47, 2012.
• [68] Tomczyk B., Mania R.: Length-Scale Effect in Dynamics of Periodically Stiffened cylindrical Shells. Wulfenia Journal, 20, 4, 71-95, 2013.
• [69] Tomczyk B., Woźniak Cz.: Tolerance models in elastodynamics of certain reinforced thin-walled structures. In: Kołakowski Z., Kowal-Michalska K. (eds.) Statics, Dynamics and Stability of Structural Elements and Systems, vol.2, Technical University of Lodz Press, 123-153, 2012 (Chapter 6).
• [70] Wągrowska M.: On the homogenization of elastic-plastic composites by the microlocal parameter approach. Acta Mechanica, 73, 45-65, 1998.
• [71] Wirowski A.: Self-vibrations of thin plate band with non-linear functionally graded material. Arch. Mech., 64, 6, 603-615, 2012.
• [72] Woźniak Cz.: Refined macrodynamics of periodic structures. Arch. Mech., 45, 295-304, 1993.
• [73] Woźniak Cz.: On dynamics of substructured shells. J. Theor. Appl. Mech., 37, 255-265, 1999.
• [74] Woźniak Cz., Wierzbicki E.: Techniques in thermomechanics of composite solids. Tolerance averaging versus homogenization. Częstochowa University Press, Częstochowa 2000.
• [75] Woźniak Cz., Michalak B., Jędrysiak J. (eds.): Thermomechanics of microheterogeneous solids and structures. Tolerance averaging approach. Lodz Technical University Press, Lodz 2008.
• [76] Woźniak Cz. et al. (eds.): Mathematical modelling and analysis in continuum mechanics of microstructured media. Silesian Technical University Press, Gliwice 2010.
• [77] Zeeman E.C.: The topology of the brain. In: Biology and Medicine, Medical Research Council, 227-292, 1965.