Spojrzenie fizyka na hipotezę Riemanna

Wolf, M.

Artykuł - szczegóły

Tytuł artykułu

Spojrzenie fizyka na hipotezę Riemanna

Autorzy

Wolf M.

Wybrane pełne teksty z tego czasopisma

http://wydawnictwa.ptm.org.pl/index.php/wiadomosci-matematyczne/

Identyfikatory

Warianty tytułu

Języki publikacji

Abstrakty

Między matematyką a fizyką istnieje wiele związków. W pierwszej części Analizy Krzysztofa Maurina [63, str. 25] możemy przeczytać zdanie: „Niektórzy fizycy uważają matematykę za język fizyki”. Wiele działów matematyki powstało z potrzeby sformalizowania i uściślenia rachunków przeprowadzanych przez fizyków (na przykład teoria przestrzeni Hilberta, teoria dystrybucji, geometria różniczkowa). W niniejszym artykule przedstawimy sytuację odwrotną, gdy sławny problem matematyczny uda się być może udowodnić metodami fizyki matematycznej albo obalić doświadczalnie. Chodzi o hipotezę Riemanna, sformułowaną w 1859 roku, w słynnym ośmiostronicowym artykule Riemanna. Znaczenie hipotezy Riemanna wynika stąd, że zapewne kilka tysięcy twierdzeń zaczyna się od słów „załóżmy prawdziwość hipotezy Riemanna, wtedy...”. W pracy zebraliśmy wiele przykładów problemów fizycznych związanych z hipotezą Riemanna. W XIX wieku wszystkie te związki nie były znane, jednak Riemann wierzył, że odpowiedź na pytania matematyczne można uzyskać ze strony fizyki. Podobno Riemann sam przeprowadzał doświadczenia fizyczne, aby sprawdzić swoje twierdzenia.

Słowa kluczowe

hipoteza Riemanna mechanika kwantowa mechanika statystyczna ruchy losowe

Wydawca

Polskie Towarzystwo Matematyczne

Czasopismo

Wiadomości Matematyczne

Rocznik

2015

Tom

T. 51, Nr 2

Strony

189--217

Opis fizyczny

Bibliogr. 106 poz., tab., wykr.

Twórcy

autor

Wolf M.

m.wolf@uksw.edu.pl

Wydział Matematyczno-Przyrodniczy, Szkoła Nauk Ścisłych, Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego

Bibliografia

[1] K. S. Alexander, K. Baclawski, G. C. Rota, A stochastic interpretation of the Riemann zeta function, Proceedings of the National Academy of Sciences 2 (1993), 697-699.
[2] C. Angelantonj, M. Cardella, S. Elitzur, E. Rabinovici, Vacuum stability, string density of states and the Riemann zeta function, Journal of High Energy Physics 2 (2011), 1-27.
[3] M. Atiyah, Geometry topology and physics, Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society 29 (Sept. 1988.), 287-299.
[4] I. Bakas, M. J. Bowick, Curiosities of arithmetic gases, Journal of Mathematical Physics 32 (1991), nr 7, 1881-1884.
[5] M. Balazard, E. Saias, M. Yor, Notes sur la fonction ζ de Riemann. II, Adv. Math. 143 (1999), nr 2, 284-287.
[6] I. Bena, M. Droz, A. Lipowski, Statistical mechanics of equilibrium and nonequilibrium phase transitions: the Yang-Lee formalism, International Journal of Modern Physics B 19 (2005), nr 29, 4269-4329.
[7] M. Berry, J. Keating, H = xp and the Riemann Zeros, [w:] Supersymmetry and trace formulae: chaos and disorder, NATO ASI Series B Physics, t. 370, Plenum Press 1999.
[8] M. V. Berry, Riemann’s zeta function: a model for quantum chaos?, [w:] Quantum chaos and statistical nuclear physics (T. H. Seligman, H. Nishioka, red.), Lecture Notes in Physics, t. 263, Springer, Berlin/Heidelberg 1984.
[9] P. Biane, J. Pitman, M. Yor, Probability laws related to the Jacobi theta and Riemann zeta functions, and Brownian excursions, Bull. Amer. Math. Soc. 38 (2001), nr 4, 435-465.
[10] P. Borwein, S. Choi, B. Rooney, A. Weirathmueller, The Riemann hypothesis: a resource for the afficionado and virtuoso alike, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 2007.
[11] K. Briggs, Abundant numbers and the Riemann hypothesis, Experimental Mathematics 15 (2006), nr 2, 251-256.
[12] L. Bunimovich, C. Dettmann, Open circular billiards and the Riemann hypothesis, Physical Review Letters 94 (2005), nr 10, 100201.
[13] S. Cacciatori, M. Cardella, Equidistribution rates, closed string amplitudes, and the Riemann hypothesis, Journal of High Energy Physics 12 (2010).
[14] A. Connes, Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function, Selecta Math. (N.S.) 5 (1999), nr 1, 29-106.
[15] J. B. Conrey, A. Ghosh, A conjecture for the sixth power moment of the riemann zeta-function, Internat. Math. Res. Notices 15 (1998), 775-780.
[16] J. B. Conrey, S. M. Gonek, High moments of the riemann zeta-function, Duke Math. J. 107 (2001), nr 3, 577-604.
[17] Korespondencja o początkach przypuszczenia Hilberat-Polya na stronie A. Odlyzki, http://www.dtc.umn.edu/odlyzko/polya/index.html
[18] C. E. Creffield, G. Sierra, Finding zeros of the Riemann zeta function by periodic driving of cold atoms, Phys. Rev. A 91 (Jun 2015), 063608.
[19] P. Crehan, Chaotic spectra of classically integrable systems, J. Phys. A: Math. Gen. 28 (1995), 6389-6394.
[20] J. Derbyshire, Prime obsession. Bernhard Riemann and the greatest unsolved problem in mathematics, Joseph Henry Press, Washington 2003.
[21] J. Derbyshire, Obsesja liczb pierwszych, NAKOM, Poznań 2009.
[22] F. J. Dyson, M. L. Mehta, Statistical theory of the energy levels of complex systems. I, Journal of Mathematical Physics 3 (1962), nr 1, 140-156.
[23] F. J. Dyson, M. L. Mehta, Statistical theory of the energy levels of complex systems. II, Journal of Mathematical Physics 3 (1962), nr 1, 157-165.
[24] F. J. Dyson, M. L. Mehta, Statistical theory of the energy levels of complex systems. III, Journal of Mathematical Physics 3 (1962), nr 1, 166-175.
[25] F. J. Dyson, M. L. Mehta, Statistical theory of the energy levels of complex systems. IV, Journal of Mathematical Physics 4 (1963), nr 5, 701-712.
[26] F. J. Dyson, M. L. Mehta, Statistical theory of the energy levels of complex systems. V, Journal of Mathematical Physics 4 (1963), nr 5, 713-719.
[27] F. Dvson, Birds and frogs, Notices of the AMS 56 (February 2009), nr 02, 212-223.
[28] H. M. Edwards, Riemann’s zeta function, Pure and Applied Mathematics, t. 58, Academic Press 1974.
[29] E. Elizalde, Bernhard Riemann, a(rche)typical mathematical-physicist?, Frontiers in Physics 1 (2013), nr 11.
[30] S. Endres, F. Steiner, The Berry-Keating operator on L2(R>, dx) and on compact quantum graphs with general self-adjoint realizations, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 43 (2010), nr 9, 095204.
[31] R. P. Feynman, Statistical mechanics: a set of lectures by R. P. Feynman, Frontiers in physics., W. A. Benjamin, Inc., New York 1972.
[32] J. Fiala, P. Kleban, Generalized number theoretic spin chain - connections to dynamical systems and expectation values, Journal of Statistical Physics 121 (2005), nr 3-4, 553-577.
[33] F. W. K. Firk, S. J. Miller, Nuclei, primes and the random matrix connection, Symmetry 1 (2009), nr 1, 64-105.
[34] M. E. Fisher, The nature of critical points, [w:] Lectures in Theoretical Physics (W. Brittin, red.), t. VIIC, University of Colorado Press, Boulder, Colorado 1965.
[35] S. German, General covariant xp models and the Riemann zeros, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 45 (2012), nr 5, 055209.
[36] I. J. Good, R. F. Churchhouse, The Riemann hypothesis and pseudorandom features of the Möbius sequence, Mathematics of Computation 22 (1968), 857-861.
[37] J. P. Gram, Note sur les zéros de la fonction de Riemann, Acta Math. 27 (1903), 289-304.
[38] G. H. Hardy, J. E. Littlewood, Contributions to the theory of the Riemann zeta function and the theory of prime distribution, Acta Mathematica 41 (1918), 119-196.
[39] B. Hayes, The Riemannium, American Scientist 91 (July), nr 4, 296-300.
[40] A. Ingham, Mean-value theorems in the theory of the Riemann zeta-function, Proc. London Math. Soc. s2-27(1) 273-300, 011928.
[41] A. Ivić, The Riemann zeta-function: the theory of the Riemann zeta-function with applications, Wiley, New York 1985.
[42] A. Ivić, On some reasons for doubting the Riemann hypothesis (2003), dostępne pod adresem http://arxiv.org/abs/math/0311162.
[43] B. L. Julia, Thermodynamic limit in number theory: Riemann-Beurling gases, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 203 (1994), nr 4, 425-436.
[44] M. Kac, Can one hear the shape of a drum?, The American Mathematical Monthly 73 (1966), nr 4, 1-23.
[45] J. Kaczorowski, VIII problem Hilberta, [w:] Problemy Hilberta, VII Ogólnopolska Szkoła Historii Matematyki, Międzyzdroje, 10-14 maja 1993 (W. Więsław, red.), IHN PAN, Warszawa 1997, 85-118.
[46] J. Kaczorowski, On sign-changes in the remainder-term of the prime-number formula. I, Acta Arith. 44 (1984), nr 4, 365-377.
[47] J. Kaczorowski, On sign-changes in the remainder-term of the prime-number formula. II, Acta Arith. 45 (1985), nr 1, 65-74.
[48] A. Karatsuba, S. M. Voronin, The Riemann zeta-function, Walter de Gruyter, Berlin-New York 1992.
[49] J. Keating, N. Snaith, Random matrix theory and ζ (l/2 + it), Commun. Math. Phys. 214 (2000), 57-89.
[50] K. Kirsten, Basic zeta functions and some applications in physics, [w:] A Window into Zeta and Modular Physics (J. Dehesa, J. Gomez, A. Polls, red.), MSRI Publications, t. 57, 2010, 101-143.
[51] A. Knauf, On a ferromagnetic spin chain, Comm. Math. Phys. 153 (1993), nr 1, 77-115.
[52] A. Knauf, On a ferromagnetic spin chain. II. Thermodynamic limit, J. Math. Phys. 35 (1994), nr 1, 228-236.
[53] A. Knauf, The number-theoretical spin chain and the Riemann zeroes, Comm. Math. Phys. 196 (1998), nr 3, 703-731.
[54] H. A. Kramers, G. H. Wannier, Statistics of the two-dimensional ferromagnet. Part I, Phys. Rev. 60 (Aug. 1941), 252-262.
[55] J. C. Lagarias, An elementary problem equivalent to the Riemann Hypothesis, Amer. Math. Monthly 109 (2002), 534-543.
[56] J. I. Latorre, G. Sierra, There is entanglement in the primes, Quantum Information & Computation 15 (2015), 622-659.
[57] J. I. Latorre, G. Sierra, Quantum computation of prime number functions, Quantum Information & Computation 14 (2014), 0577-0588.
[58] P. Lax, Functional Analysis, John Wiley and Sons, Inc. 2002.
[59] P. Leboeuf, A. G. Monastra, O. Bohigas, The Riemannium, Regular and Chaotic Dynamics 6 (2001), 205-210.
[60] T. D. Lee, C. N. Yang, Statistical theory of equations of state and phase transitions. II. Lattice gas and Ising model, Phys. Rev. 87 (Aug. 1952), nr 3, 410-419.
[61] J. Łopuszański, A. Pawlikowski, Fizyka statystyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1969.
[62] K. Maślanka, Liczba i kwant, OBI, Kraków 2004.
[63] K. Maurin, Analiza, cz. 1, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2010.
[64] M. L. Mehta, Random matrices, 2nd wyd., Academic Press, San Diego, California 1991.
[65] M. Milgram, Integral and series representations of Riemann’s zeta function and Dirichlet’s eta function and a Medley of related results, Journal of Mathematics (2013). Article ID 181724.
[66] D. Ming, T. Wen, J. Dai, W. E. Evenson, X. Dai, A unified solution of the specific-heat-phonon spectrum inversion problem, EPL (Europhysics Letters) 61 (2003), nr 6, 723.
[67] H. L Montgomery, The pair correlation of zeros of the zeta function, [w:] Analytic number theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXIV, St. Louis Univ., St. Louis, MO., 1972), Amer. Math. Soc., Providence, RI 1973, 181-193.
[68] G. Mussardo, The quantum mechanical potential for the prime numbers (1997), dostępne pod adresem http://arxiv.org/abs/cond-mat/9712010.
[69] A. M. Odlyzko, The 1020-th zero of the Riemann zeta function and 175 million of its neighbors, artykuł z 1989 roku po poprawkach w 1992 roku.
[70] A. M. Odlyzko, The 102l-st zero of the Riemann zeta function (1998). artykuł w nieformalnych materiałach konferencyjnych „Conference on the zeta function” w Instytucie Edwina Schrödingera we Wiedniu (Wrzesień 1998).
[71] A. M. Odlyzko, On the distribution of spacings between zeros of the zeta function, Math. Comp. 48 (1987), 273-308.
[72] A. M. Odlyzko, The 1022-nd. zero of the Riemann zeta function, [w:] Dynamical, Spectral, and Arithmetic Zeta Functions (M. van Frankenhuysen, M. L. Lapidus, red.), Contemporary Math., t. 290, Amer. Math. Soc. 2001, 139-144.
[73] A. M. Odlyzko, H. J. J. te Riele, Disproof of the Mertens conjecture, J. Reine Angew. Math. 357 (1985), 138-160.
[74] S. Okubo, Lorentz-invariant Hamiltonian and Riemann hypothesis, Journal of Physics A: Mathematical and General 31 (1998), nr 3, 1049-1057.
[75] M. Planat, P. Solé, S. Omar, Riemann hypothesis and quantum mechanics, Journal of Physics A Mathematical General 44 (Apr. 2011), nr 14, 145203.
[76] R. V. Ramos, F. V. Mendes, Riemannian quantum circuit, Physics Letters A 378 (May 2014), nr 20, 1346-1349.
[77] B. Riemann, Ueber die anzahl der primzahlen unter einer gegebenen grösse, Monatsberichte der Berliner Akademie (November 1859), 671-680, dostępne pod adresem http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann.
[78] M. Riesz, Sur l’hypothèse de Riemann, Acta Mathematica 40 (1916), nr 1, 185-190.
[79] G. Robin, Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et Hypothèse de Riemann, J. Math. Pures Appl. (9) 63 (1984), nr 2, 187-213.
[80] D. Rockmore, Stalking the Riemann hypothesis: the quest to find the hidden law of prime numbers, Pantheon Books, New York 2005.
[81] H. C. Rosu, Quantum hamiltonians and prime numbers, Modern Physics Letters A 18 (2003), 1205-1213.
[82] W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, wyd. 6, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006.
[83] K. Sabbagh, Dr. Riemann’s zeros: the search for the $1 million solution to the greatest problem in mathematics, Atlantic Books Nov. 2002.
[84] K. Sabbagh, The Riemann hypothesis: the greatest unsolved problem in mathematics, Farrar, Straus, and Giroux, New York 2002.
[85] P. Sarnak, Quantum chaos, symmetry, and zeta functions, II: zeta functions, [w:] Current developments in mathematics (Bott, Jaffe, Jerison, Lusztig, Singer, Yau, red.), t.1997, International Press 1997, 145-159.
[86] M. du Sautoy, The music of the primes: searching to solve the greatest mystery in mathematics, HarperColiins, New York 2003.
[87] L. Schoenfeld, Sharper Bounds for the Chebyshev Functions 0(x) and ψ(x). II, Mathematics of Computation (1976), 337-360.
[88] D. Schumayer, D. A. W. Hutchinson, Physics of the Riemann hypothesis, Rev. Mod. Phys. 83 (Apr. 2011), nr 2, 307-330.
[89] D. Schumayer, B. P. van Zyl, D. A. W. Hutchinson, Quantum mechanical potentials related to the prime numbers and Riemann zeros, Phys. Rev. E 78 (Nov 2008), 056215.
[90] S. K. Sekatskii, On the Hamiltonian whose spectrum coincides with the set of primes (2007), dostępne pod adresem http://arxiv.org/abs/0709.0364.
[91] M. F. Shlesinger, On the Riemann hypothesis: a fractal random walk approach, Physica. A 138 (1986), nr 1-2, 310-319.
[92] P. W. Shor, Polynomial-time algorithms for prime factorization and discrete logarithms on a quantum computer (sierpień 1995), dostępne pod adresem http: //arxiv.org/abs/quant-ph/9508027.
[93] G. Sierra, J. Rodriguez-Laguna, The h = xp model revisited and the Riemann zeros 106 ( 2011), 200201.
[94] D. Spector, Supersymmetry and the Möbius inversion function, Comm. Math. Phys. 127 (1990), nr 2, 239-252.
[95] D. Spector, Duality, partial supersymmetry, and arithmetic number theory, J. Math. Phys. 39 (1998), nr 4, 1919-1927.
[96] F. Steiner, P. Trillenberg, Refined asymptotic expansion for the partition function of unbounded quantum billiards, J. Math. Phys. 31 (1990), nr 7, 1670-1676.
[97] W. Tao, D. JiXin, M. Dengming, E. E. William, X. Dai, New exact solution formula for specific heat-phonon spectrum inversion and its application in studies of superconductivity, Physica C: Superconductivity (2000), 341-348.
[98] E. C. Titchmarsh, The theory of the Riemann zeta-function, 2nd wyd., The Clarendon Press Oxford University Press, New York 1986.
[99] A. M. Turing, Some calculations of the Riemann zeta-function, Proc. London Math. Soc. (3) 3 (1953), 99-117.
[100] V. V. Volchkov, On an equality equivalent to the Riemann Hypothesis, Ukraïn. Mat. Zh. 47 (1995). nr 3, 422-423.
[101] M. Watkins, Number theory and physics, dostępne pod adresem http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/physics.htm.
[102] S. Wedeniwski, Zetagrid Project, dostępne pod adresem http://think-automobility.org/geek-stuff/zetagrid.
[103] H. Weyl, Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte, Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 2 (1911), 110-117.
[104] H. Weyl, Über die abhängigkeit der eigenschwingungen einer Membran und deren begrenzung, J. Reine Angew. Math. 141 (1912), 1-11.
[105] C. N. Yang, T. D. Lee, Statistical theory of equations of state and phase transitions. I. theory of condensation, Phys. Rev. 87 (Aug 1952), 404-409.
[106] D. Zagier. The first 50 million prime numbers, Mathematical Intelligencer o (1977), 7-19.

Uwagi

Opracowanie ze środków MNiSW w ramach umowy 812/P-DUN/2016 na działalność upowszechniającą naukę.

Typ dokumentu

Bibliografia

Identyfikator YADDA

bwmeta1.element.baztech-577e1c97-3521-43d4-bdce-9b35a6d5433e