Duration problem: basic concept and some extensions

• Autorzy: Porosiński Z. , Skarupski M. , Szajowski K.

Identyfikatory

DOI

10.14708/ma.v44i1.829

Warianty tytułu

PL

Koncepcja okresu trwania: podstawowe założenia i pewne rozszerzenia.

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

We consider a sequence of independent random variables with the known distribution observed sequentially. The observation n is assumed to be a value of one order statistics such as s : n-th, where 1 ≤ s ≤ n. It the instances following the nth observation it may remain of the s : m or it will be the value of the order statistics r : m (of m > n observations). Changing the rank of the observation, along with expanding a set of observations there is a random phenomenon that is difficult to predict. From practical reasons it is of great interest. Among others, we pose the question of the moment in which the observation appears and whose rank will not change significantly until the end of sampling of a certain size. We also attempt to answer which observation should be kept to have the “good quality observation” as long as possible. This last question was analysed by Ferguson, Hardwick and Tamaki (1991) in the abstract form which they called the problem of duration. This article gives a systematical presentation of the known duration models and a new modifications. We collect results from different papers on the duration of the extremal observation in the no-information (denoted as rank based) case and the full-information case. In the case of non-extremal observation duration models the most appealing are various settings related to the two extremal order statistics. In the no-information case it will be the maximizing duration of owning the relatively best or the second best object. The idea was formulated and the problem was solved by Szajowski and Tamaki (2006). The full-information duration problem with special requirement was presented by Kurushima and Ano (2010).

PL

Rozważmy ciąg niezależnych zmiennych losowych o znanym rozkładzie. N-ta obserwacja jest wartością pewnej statystyki pozycyjnej, powiedzmy s : n, gdzie 1 ≤ s ≤ n. W chwilach następujących po n-tej obserwacji może ona pozostać s : m lub zmieni swoją pozycję tak, iż stanie się statystyką pozycyjną r : m (gdzie m > n jest liczbą obserwacji). Zmiana rangi naszej obserwacji pośród wciąż powiększającego się zbioru wszystkich obserwacji jest zjawiskiem, które nie jest łatwo przewidzieć. Z pewnych względów jest to interesujący problem. Stawiamy zatem pytanie o moment pojawienia się obserwacji, której ranga się nie zmieni znacząco aż do czasu, gdy skończymy obserwować zjawisko. Można również postawić problem w następujący sposób: ”Który obserwowalny obiekt powinniśmy zatrzymać tak, aby posiadać obiekt dobrej jakości najdłużej jak to tylko możliwe?” Pytanie to było rozważane przez Fergusona, Hardwicka and Tamaki’ego (1991) w problemie, który został nazwany ‘problem of duration’, a który został tu nazwamy problemem okresu trwania. Niniejsza praca ma na celu uporządkowanie znanych do tej pory modeli problemu okresu trwania oraz prezentację kilku nowych rozszerzeń. Zebrane zostały wyniki z różnych prac na temat okresu trwania dla ekstremalnej obserwacji w przypadku bezinformacyjnym (nazywanym również modelem rangowym, no-information case) oraz w przypadku pełno-informacyjnym (full-information case). W przypadkach obserwacji nieekstremalnych najczęściej pojawiającym się modelem jest model dla pierwszej i/lub drugiej statystyki pozycyjnej. Model bez-informacyjny mówi o maksymalizacji okresu trwania dla pierwszego lub drugiego najlepszego obiektu. Idea ta została sformułowana przez Szajowskiego i Tamaki’ego (2006). Przypadek pełno-informacyjny z pewnymi ograniczeniami został zaprezentowany przez Kurushima i Ano(2010).

Słowa kluczowe

EN

optimal stopping; duration problem; secretary problem

PL

optymalne zatrzymanie; problem okresu trwania; problem sekretarki

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Matematyczne
• Czasopismo: Mathematica Applicanda
• Rocznik: 2016
• Tom: Vol. 44, No. 1
• Strony: 87--112
• Opis fizyczny: Bibliogr. 26 poz., fot.

Twórcy

autor

Porosiński Z.

• Faculty of Pure and Applied Mathematics

autor

Skarupski M.

• Faculty of Pure and Applied Mathematics, Wrocław University of Technology, Wybrzeże Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław, Poland

autor

Szajowski K.

• Faculty of Pure and Applied Mathematics

Bibliografia

• [1] M. Abramowitz and I. A. Stegun, editors. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover, New York, 1972.
• [2] T. Bojdecki. Probability maximizing approach to optimal stopping and its application to a disorder problem. Stochastics, 3: 61–71, 1979. Zbl 432.60051; MR 0546700; doi: 10.1080/17442507908833137.
• [3] F. Bruss and L. Rogers. Embedding optimal selection problems in a Poisson process. Stochastic Processes Appl., 38(2): 267–278, 1991. Zbl 0745.60040; doi: 10.1016/0304-4149(91)90094-S.
• [4] F. Bruss and L. Rogers. Pascal processes and their characterization. Stochastic Processes Appl., 37(2): 331–338, 1991. Zbl 0743.60043; doi: 10.1016/0304-4149(91)90052-E.
• [5] E. Dynkin and A. Yushkevich. Theorems and Problems on Markov Processes. Plenum, New York, 1969.
• [6] T. Ferguson, J. Hardwich, and M. Tamaki. Maximizing the duration of owning a relatively best object. In T. S. Ferguson and S. M. Samuels, editors, Strategies for Sequential Search and Selection in Real Time, Proceedings of the AMS-IMS-SIAM Join Summer Research Conferences held Amherst, MA, June 21-27, 1990, volume 125 of Contemp. Math., pages 37–57. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1992. MR 1160608; Zbl 0745.62079; doi: 10.1090/conm/125/1160608.
• [7] P. Freeman. The secretary problem and its extensions: a review. Int. Statist. Rev., 51: 189–206, 1983.
• [8] M. Gardner. Mathematical games. Scientific American, 202 (1,3): 150–156; 172–182, 1960.
• [9] J. Gilbert and F. Mosteller. Recognizing the maximum of a sequence. J. Am. Stat. Assoc., 61: 35–73, 1966.
• [10] A. V. Gnedin. Objectives in the best-choice problems. Sequential Anal., 24(2): 177–188, 2005.
• [11] A. V. Gnedin. Optimal stopping with rank-dependent loss. J. Appl. Probab., 44(4): 996–1011, 2007.
• [12] A. Kurushima and K. Ano. Full-information duration problem and its generalizations. Sūrikaisekikenkyūsho Kōkyūroku, (1682): 50–54, 2010. Mathematics of decision-making under uncertainty (Japanese) (Kyoto, 2002).
• [13] V. Mazalov and M. Tamaki. An explicit formula for the limiting optimal gain in the full information duration problem. Sūrikaisekikenkyūsho Kōkyūroku, (1306): 217–222, 2003. Mathematics of decision-making under uncertainty (Japanese) (Kyoto, 2002).
• [14] V. V. Mazalov and M. Tamaki. Duration problem on trajectories. Stochastics, 79(3-4): 211–218, 2007.
• [15] Z. Porosiński. The full-information best choice problem with a random number of observations. Stochastic Process. Appl., 24(2): 293–307, 1987.
• [16] Z. Porosiński and K. Szajowski. On some selection problem. In Proceedings of 14th IFIP Conference, pages 679–687, Leipzig, 1987.
• [17] E. Presman and I. Sonin. The best choice problem for a random number of objects. Theory Prob. Appl., 17: 657 – 668, 1972.
• [18] W. Rasmussen and H. Robbins. The candidate problem with unknown population size. J. Appl. Probab., 12: 692–701, 1975.
• [19] J. Rose. Twenty years of secretary problems: a survey of developments in the theory of optimal choice. Management Studies, 1: 53–64, 1982.
• [20] S. Samuels. Secretary problems. In B. Ghosh and P. Sen, editors, Handbook of Sequential Analysis, pages 381–405. Marcel Decker, New York, 1991.
• [21] A. Suchwałko and K. Szajowski. Non standard, no information secretary problems. Sci. Math. Japonicae, 56: 443 – 456, 2002.
• [22] K. Szajowski. Optimal choice problem of a-th object. Matem. Stos., 19: 51–65, 1982. in Polish.
• [23] K. Szajowski and M. Tamaki. Shelf Life of Candidates in the Generalized Secretary Problem. ArXiv e-prints, page 10p., Feb. 2009.
• [24] M. Tamaki. Optimal stopping rule for the no-information duration problem with random horizon. Adv. in Appl. Probab., 45(4): 1028–1048, 2013.
• [25] M. Tamaki. Urn sampling distributions giving alternate correspondences between two optimal stopping problems. Preprint, Faculty of Business Administration, Nagoya Campus, Hiraike 4-60-6, Nakamura, Nagoya, Aichi 453-8777, Japan, August 2013.
• [26] M. Tamaki. On the optimal stopping problems with monotone thresholds. Sūrikaisekikenkyūsho Kōkyūroku, (1912): 202–210, 2014. Mathematics of decision-making under uncertainty (Japanese) (Kyoto, 2014).

Uwagi

Opracowanie ze środków MNiSW w ramach umowy 812/P-DUN/2016 na działalność upowszechniającą naukę.