Wymiarowanie elementów konstrukcyjnych metodą rozwiązań podstawowych

• Autorzy: Gorzelańczyk P.
• Konferencja: Problemy Rozwoju Maszyn Roboczych (XXVII; 26-30.01.2014; Zakopane, Polska)
• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

Problem wymiarowania elementów konstrukcyjnych znany jest w wielu dziedzinach. Możemy z nim się spotkać w budowie maszyn i budownictwie oraz w wielu innych dziedzinach nauki. Wymiarować możemy wiele elementów konstrukcyjnych, np.poprzez naprężenia występujące w prętach o dowolnym przekroju poprzecznym składającym się z prostokątów, których sposób rozwiązania zostanie przedstawiony w niniejszej pracy. Problem ten był rozwijany przez wielu autorów. Basilewitscha [1], w swojej książce podał metodę wyznaczania funkcji naprężeń dla dowolnych kształtowników w ramach teorii St.Venanta. Opis metody tego autora można znaleźć w książce W.Nowackiego [2]. Ogólnie metoda ta prowadzi do rozwiązania nieskończonego układu równań, w których niewiadomymi są współczynniki rozkładu dla funkcji naprężeń w obszarach prostokątnych, na które dzielimy wyjściowy przekrój poprzeczny. Inną, metodę rozwiązania tego zagadnienia można znaleźć w monografii Arutiumian NC, Abramian BL.[3]. Metoda ta prowadzi do nieskończonego układu równań z nieznanymi współczynnikami rozkładu funkcji naprężeń. W pracy braci Chen Y-Z, Chen Y-H.[4] zaproponowano pewną metodę, w której obszar przekroju poprzecznego dzieli się na prostokąty, następnie przyjmuje się rozwiązania w postaci liniowej superpozycji funkcji, które ściśle spełniają równanie różniczkowe oraz część warunków brzegowych. Warunki zszycia obszarów prostokątnych spełnia się w sposób przybliżony. W podobnym tonie jest publikacja Chen Y-H [5], gdzie w ramach metody elementów skończonych stosuje się „duże elementy skończone” w postaci prostokątów, na które dzieli się przekrój poprzeczny. Naprężenia występujące podczas skręcania pręta o dowolny przekroju poprzecznym możemy obecnie obliczać programami wykorzystującymi metodę elementów skończonych. Do takich programów zaliczamy m.in.: Ansys, Comsol, Nastran, Abaqus.Wadą tego typu programów jest ich koszt. W artykule zostanie przedstawiona metoda rozwiązań podstawowych, która pozwala na napisanie prostego programu, który szybko, prosto i dokładnie oblicza naprężenia dla założonego kształtu złożonego z prostokątów w dowolnym punkcie. Metoda rozwiązań podstawowych należy do grupy metod bezsiatkowych i jest numeryczną metodą rozwiązywania równań różniczkowych eliptycznych i parabolicznych [6]. Warunkiem stosowania tej metody jest znajomość rozwiązania podstawowego równania, które występuje w sformułowaniu problemu brzegowego lub brzegowo-początkowego. Przybliżone rozwiązanie problemu w tej metodzie zakłada się w postaci superpozycji rozwiązań podstawowych, których punkty osobliwe są rozmieszczone równomiernie na każdym z boków na zewnątrz rozważanego obszaru. Punkty te, nazywane też punktami źródłowymi, rozmieszcza się na pseudobrzegu, wewnątrz którego jest rozważany obszar. Ponieważ rozwiązanie podstawowe spełnia ściśle równanie różniczkowe występujące w sformułowaniu rozważanego problemu brzegowego, więc przyjęta postać przybliżonego rozwiązania również to równanie spełnia. Z tego powodu metoda rozwiązań podstawowych należy do grupy metod Trefftza, których istotą jest dokładne spełnienie równania różniczkowego. Współczynniki wagowe występujące w przybliżonym rozwiązaniu wyznacza się, spełniając w określony sposób warunki brzegowe występujące w problemie brzegowym.

EN

The problem of dimensioning of constructional elements appears in many areas. It occurs in machine’s constructing, building and many other fields of knowledge. This problem can be solved by using numerical methods. The aim of the article is presentation of the method of fundamental solutions, which allows to write an uncomplicated program, which quickly, simply and precisely calculates the stretch on spraining of arbitrary presumptive shape made up of rectangles in arbitrary point.

Słowa kluczowe

PL

wymiarowanie; elementy konstrukcyjne; metoda rozwiązań podstawowych

EN

dimensioning; hardware; method of fundamental solutions

• Wydawca: Oficyna Wydawnicza Politechniki Opolskiej
• Czasopismo: Zeszyty Naukowe. Mechanika / Politechnika Opolska
• Rocznik: 2014
• Tom: z. 103
• Strony: 77--78
• Opis fizyczny: Bibliogr. 6 poz.

Twórcy

autor

Gorzelańczyk P.

• Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa im. St. Staszica w Pile

Bibliografia

• BASILEWITSCHA W.: Das Torsionsproblem der Li .Tragers.Publ.De L’Institut Mathematique, Vol.5, Beograd 1953.
• NOWACKI W.: Teoria sprężystości, PWN, Warszawa 1970.
• ARUTIUMIAN NC, ABRAMIAN BL.: Kruczenije uprigich tiel (in Rusian, ang.T Torsion of elastic body), Moskwa, Gos.Izd.Fiz.-Mat.Lit, 1963.
• CHEN Y-Z, CHEN Y-H.: Solution of the torsion problem for bars with „L, T“– cross-section by a harmonic function continuation technique, Int J Eng Sci 1981;19:791– 804.
• CHEN Y-H.: On a finite element model for solving Dirichlet’s problem of Laplace’s equation, Int J Numer Methods Eng 1982; 18:687–700.
• CHO H.A., GOLBERG M.A., MULESHKOV A.S., LI X.: Trefftz methods for time depen¬dent partial differential equations, Comput.Math.Cont., 2004, Vol.1, s.1–37.