Analytical and numerical solutions of not exact differential equations with interpretation in Mathematica program

• Autorzy: Czajkowski A. A. , Mazur-Chrzanowska B. , Chrzanowski R. , Udała R.

Warianty tytułu

PL

Analityczno-numeryczne rozwiązania równań różniczkowych niezupełnych z interpretacją w programie Mathematica

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

Introduction and aim: This paper shows the analytical and numerical solutions of some not exact differential equations. Some short description of a search procedure for integral factor in all three cases has been shown in the considerations. The main aim of this paper is to use Mathematica program to solve the not exact differential equations. Material and methods: In the paper have been analyzed exact differential equation and four not exact differential equations. In order to solve not exact differential equations and create some graphs of obtained solutions has been applied Mathematica program. Analytical and numerical methods have been used in the paper. Results: In the case of integrating factor which dependent on two variables has been shown the way of its searching by using some expectation method. In particular case, when integrating factor has form μ(x,y)=x^ay^b the quantities a and b we can find by solving a system of two linear equations with unknown values a and b. Conclusion: Program Mathematica allows us to look, for more difficult cases, some integrating factor dependent on two variables x and y by using a expectation method.

PL

Wstęp i cele: W pracy pokazano rozwiązania analityczne dla równań różniczkowych niezupełnych. Przestawiono krótki opis procedury szukania czynnika całkującego we wszystkich trzech przypadkach. Głównych celem pracy jest zastosowanie programu Mathematica do rozwiązywania równań różniczkowych niezupełnych. Materiał i metody: Zanalizowano równanie różniczkowe zupełne oraz cztery równania różniczkowe niezupełne. W celu wykonania wykresów otrzymanych rozwiązań szczególnych zastosowano program numeryczny Mathematica. W pracy zastosowano zarówno metodę analityczną jak i numeryczną. Wyniki: W przypadku czynnika całkującego zależnego od dwóch zmiennych pokazano sposób jego wyznaczania stosując metodę przewidywań. W szczególności gdy czynnik całkujący ma postać μ(x,y)=x^ay^b wykładniki a oraz b znajduje się rozwiązując układ dwóch równań linowych o zmiennych a i b. Wnioski: Program Mathematica pozwala na analizę, dla bardziej trudniejszych przypadków, czynnika całkującego zależnego od dwóch zmiennych x oraz y stosując metodę przewidywań.

Słowa kluczowe

EN

not exact differential equation; integrating factor; general integral; particular integral; analytical method; numerical method; graphical interpretation of solution; Mathematica

PL

równanie różniczkowe niezupełne; czynnik całkujący; całka ogólna; całka szczególna; metoda analityczna; metoda numeryczna; interpretacja graficzna rozwiązania; Mathematica

• Wydawca: Wyższa Szkoła Techniczno-Ekonomiczna w Szczecinie
• Czasopismo: Problemy Nauk Stosowanych
• Rocznik: 2013
• Tom: T. 1
• Strony: 5--30
• Opis fizyczny: Bibliogr.: 12 poz., rys., tab., wykr.

Twórcy

autor

Czajkowski A. A.

• Uniwersytet Szczeciński, Wydział Matematyczno-Fizyczny, Katedra Edukacji Informatycznej i Technicznej

autor

Mazur-Chrzanowska B.

• Uniwersytet Szczeciński, Wydział Matematyczno-Fizyczny, Katedra Edukacji Informatycznej i Technicznej

autor

Chrzanowski R.

• Uniwersytet Szczeciński, Wydział Matematyczno-Fizyczny, Katedra Edukacji Informatycznej i Technicznej

autor

Udała R.

• Edward Murrow High School, Brooklyn, New York, USA

Bibliografia

• [1] Demidowicz B.: Problems in mathematical analysis, Mir Publishers, Moscow 1976.
• [2] Drwal G., Grzymkowski R., Kapusta A., Słota D.: Mathematica 4, Wyd. Pracowni Komputerowej Jacka Skalmierskiego, Gliwice 2000.
• [3] Krasnov M.L., Kiselyov A.I., Makarenko G.I.: A book of problems in ordinary differential equations, Mir Publishers, Moscow 1981.
• [4] Krysicki W., Włodarski L.: Analiza matematyczna w zadaniach, Tom 2, PWN, Warszawa 1994, w. XIX.
• [5] Morchało J., Ratajczak Z., Werbowski J.: Matematyka. Równania różniczkowe zwyczajne w zastosowaniach, Wyd. Pol. Poznańskiej, Poznań 1987, w. III rozszerzone.
• [6] Leja F.: Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych, Tom 2 Biblioteka Matematyczna, PWN, Warszawa 1969, w. X, rozszerzone.
• [7] Palczewski A.: Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria i metody numeryczne z wykorzystaniem komputerowego systemu obliczeń symbolicznych, WNT, Warszawa 1999.
• [8] Ross C.C.: Differential equations, An introduction with Mathematica, Springer-Verlag, New York Berlin Heidelberg London Paris Tokyo Hong Kong Barcelona Budapest 1995.
• [9] Trott M.: The Mathematica guide book for symbolics, Springer, New York 2006.
• [10] Siewierski L. (pod red.): Ćwiczenia z analizy matematycznej z zastosowaniami, Tom II, PWN Warszawa 1981.
• [11] Tymowski Sławomir: Wykłady z równań różniczkowych zwyczajnych, Wyd. WSP w Olsztynie, Olsztyn 1990.
• [12] Wolfram S.: The Mathematica Book, 4th edition, Wolfram Media and Cambridge University Press, Champaign and Cambridge 1999.

Uwagi

Opracowanie ze środków MNiSW w ramach umowy 812/P-DUN/2016 na działalność upowszechniającą naukę (zadania 2017).