Hausdorff limits of one parameter families of definable sets in o-minimal structures

• Autorzy: Kocel-Cynk B.

Identyfikatory

DOI

10.4467/2353737XCT.16.140.5751

Warianty tytułu

PL

Granice Hausdorffa jednoparametrowych rodzin zbiorów definiowalnych w strukturach o-minimalnych

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

We give an elementary proof of the following theorem on definability of Hausdorff limits of one parameter families of definable sets: let A [subset of] R×Rⁿ be a bounded definable subset in o-minimal structure on (R,+,∙) such that for any y∈(0,c), c>0, the fibre A_y:={x∈Rⁿ:(y,x)∈A} is a Lipschitz cell with constant L independent of y. Then the Hausdorff limit lim[y→0] Ā_y exists and is definable.

PL

W prezentowanej pracy przedstawiamy elementarny dowód następującego twierdzenia o definiowalności granicy Hausdorffa jednoparametrowej rodziny zbiorów definiowalnych: niech A [pozdbiór] R×R_n będzie ograniczonym zbiorem definiowalnym w strukturze o-minimalnej typu (R,+,∙) takim, że dla dowolnego y∈(0,c), c>0, wókno A_y:={x∈Rⁿ:(y,x)∈A} jest komórką Lipschitza ze staą L niezależną od y. Wtedy granica Hausdorffa lim[y→0] Ā_y istnieje i jest definiowalna.

Słowa kluczowe

EN

Hausdorff limit; definable sets; o-minimal structure

PL

granica Hausdorffa; zbiory definiowalne; struktury o-minimalne

• Wydawca: Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej im. Tadeusza Kościuszki
• Czasopismo: Czasopismo Techniczne. Nauki Podstawowe
• Rocznik: 2016
• Tom: Y. 113, iss. 1-NP
• Strony: 73--80
• Opis fizyczny: Bibliogr. 6 poz., wz.

Twórcy

autor

Kocel-Cynk B.

• Institute of Mathematics, Faculty of Physics, Mathematics and Computer Science, Cracow University of Technology

Bibliografia

• [1] Bröcker L., Families of semialgebraic sets and limits, [in:] Real algebraic (Rennes, 1991), volume 1524 of Lecture Notes in Math., 145-162, Springer 1992.
• [2] van den Dries L., Tame topology and o-minimal structures, Mathematical Society Lectures Notes, 248, Cambridge University Press, London 1998.
• [3] Kocel-Cynk B., Pawłucki W., Valette A., A short geometric proof that Hausdorff limits are definable in any o-minimal structure, Adv. Geom., 14, no. 1, 2014, 49-58.
• [4] Lion J.-M., Speissegger P., A geometric proof of the definability of Hausdorff limits, Selecta Math. (N.S.), 10, no. 3, 2004, 377-390.
• [5] Łojasiewicz S., Ensembles semi-analytiques, IHES, 1965.
• [6] McShane E.J., Extension of range of functions, Bull. Amer. Math. Soc., 40, 1934, 837-842.