Analytical and numerical solving of linear non-homogeneous differential equations of the second-order with changeable coefficients by using constant variation method and application of Mathematica program

• Autorzy: Czajkowski A. A. , Oleszak W. K. , Skorny G. P. , Udała R.

Warianty tytułu

PL

Rozwiązywanie analityczno-numeryczne liniowych niejednorodnych równań różniczkowych drugiego rzędu o zmiennych współczynnikach przy użyciu metody wariacji stałej i zastosowaniu programu Mathematica

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

Introduction and aim: The paper presents the analytical and numerical algorithm of solving linear nonhomogeneous equations of the second order with changeable coefficients. The aim of the work is to show the algorithms for solving equations both analytically and numerically. The additional aim is to make some graphical interpretation of solutions. Material and methods: Some selected equations have been chosen from the subject literature. In the solutions the constant variation method has been presented. Results: The paper presents the selected linear non-homogeneous equations of the second order with constant coefficients containing linear, homographic, logarithmic and trigonometric functions. Conclusion: Taking into account the constant variation method it is possible to solve the second order linear non-homogeneous differential equations with changeable coefficients. Using the Mathematica program it is possible quickly get a solution and create its graphical interpretation.

PL

Wstęp i cel: W pracy pokazano algorytm analityczny i numeryczny rozwiązywania równań różniczkowych liniowych niejednorodnych drugiego rzędu o zmiennych współczynnikach. Celem pracy jest pokazanie algorytmu rozwiązywania równań zarówno sposobem analitycznym jak i numerycznym. Ponadto dodatkowym celem jest interpretacji graficznej rozwiązań. Materiał i metody: Wybrane równania zaczerpnięto z literatury przedmiotu. W rozwiażanich równań zastosowano metodę wariacji stałej. Wyniki: W pracy opracowano wybrane równania różniczkowe liniowe niejednorodne drugiego rzędu o zmiennych współczynnikach zawierających funkcje liniowe, homograficzne, logarytmiczne i trygonometryczne. Wniosek: Stosując metodę uzmienniania stałej jest możliwe rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych niejednorodnych drugiego rzędu o zmiennych współczynnikach. Wykorzystując program Mathematica można szybko uzyskać rozwiązanie oraz sporządzić jego interpretację graficzną.

Słowa kluczowe

EN

ordinary differential equations; linear equations; homogeneous equations; equations of the second order; changeable coefficients; variation constant method; analytical solution; numerical solution; Mathematica

PL

równania różniczkowe zwyczajne; równania liniowe; równania niejednorodne; równania drugiego rzędu; zmienne współczynniki; metoda wariacji stałej; rozwiązanie analityczne; rozwiązanie numeryczne; Mathematica

• Wydawca: Wyższa Szkoła Techniczno-Ekonomiczna w Szczecinie
• Czasopismo: Problemy Nauk Stosowanych
• Rocznik: 2018
• Tom: T. 8
• Strony: 21--38
• Opis fizyczny: Bibliogr. 16 poz., wykr.

Twórcy

autor

Czajkowski A. A.

• Higher School of Technology and Economics in Szczecin, Faculty of Automotive Systems
• Higher School of Humanities of Common Knowledge Society in Szczecin

autor

Oleszak W. K.

• Higher School of Humanities of Common Knowledge Society in Szczecin

autor

Skorny G. P.

• Higher School of Technology and Economics in Szczecin, Faculty of Automotive Systems

autor

Udała R.

• Edward Murrow High School, Brooklyn, New York, USA

Bibliografia

• [1] Abell M.L., Braselton J.P.: Mathematica by example. Revised edition. AP Proffesional. A Division of Harcourt Brace & Company. Boston San Diego New York London Sydney Tokyo Toronto 1994.
• [2] Birkhoff G., Rota G.C.: Ordinary differential equations. Blaisdell, Waltham MA, 2nd edition, 1969.
• [3] Blachman N.: Mathematica: A Practical Approach. Prentice-Hall, 1992.
• [4] Boyce W.E., DiPrima R.C.: Elementary differential equations. Wiley. New York. 4th edition, 1986.
• [5] Crandall R.E.: Mathematica for sciences. Addison-Wesley, 1991.
• [6] Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.: Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть II. Изд. «Высшая школа», Москва 1980, изд. 3 перер. и доп.
• [7] Gray T.W., Glynn J.: Exploring mathematics with Mathematica. Addoson-Wesley, Reading, MA, 1991.
• [8] Hille E.: Lectures on ordinary differential equations. Addison-Wesley, Reading, MA, 1969.
• [9] Krasnov M.L., Kiselyov A.I., Makarenko G.I.: A book of problems in ordinary differential equations, Mir Publishers, Moscow 1981.
• [10] Kudryavtsev V.A., Demidovich B.P.: A brief course of higher mathematics. Mir Publishers, Moscow 1981.
• [11] Meyberg K., Vachenauer P.: Höhere Mathmatik 1. Differential- und Integralrechnung, Vector-und Matrizenrechnung. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, Sechste, korrigierte Auflage, 2001.
• [12] Meyberg K., Vachenauer P.: Höhere Mathmatik 2. Differentialgleihungen, Funktionentheorie, Fourier-Analysis, Variationsrechnung. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, Vierte, korrigierte Auflage, 2001.
• [13] Pennisi L.L.: Elements of ordinary differential equations. Holt. New York, 1972.
• [14] Ross C.C: Differential equations. An introduction with Mathematica. Springer-Verlag. New York Berlin Heidelberg London Paris Tokyo Hong Kong Barcelona Budapest, 1995.
• [15] Rabenstein A.L.: Elementary differential equations. Academic. New York, 3rd edition, 1982.
• [16] Zwillinger D.: Handbook of differential equations. Second edition. Academic Press, 1992.

Uwagi

Opracowanie rekordu w ramach umowy 509/P-DUN/2018 ze środków MNiSW przeznaczonych na działalność upowszechniającą naukę (2019).