Symulacja numeryczna roztwarzania substancji podczas filtracji płynu w ośrodkach porowatych

• Autorzy: Sławomirski M. R.

Warianty tytułu

EN

Numerical Simulation of Dissolution of Active Substances Accompanying the Flow of Fluids through Porous Media

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

Rozważono problem roztwarzania substancji aktywnych rozproszonych w postaci drobnych ziaren w szkielecie ośrodka porowatego. Przyjęto, że płyn przepływający przez ośrodek porowaty roztwarza rozproszone w szkielecie substancje i unosi je z sobą z prędkością adwekcji u różną od prędkości filtracji υ. Założono, że roztwarzaniu towarzyszą dodatkowe procesy jak adwekcja, dyspersja hydrodynamiczna, dyfuzja mikroskalowa (dyfuzja okołoziarnowa) oraz dyfuzja w skali makro. Proces roztwarzania potraktowano jako reakcję chemiczną przebiegającą alternatywnie w sposób zgodny z trzema modelami roztwarzania (progressive conversion model, unreacted core model, shrinking core model). Modele idealnego roztwarzania uzupełniono o sformułowaną w innej pracy autora, opartą na prawie Ficka hipotezę dyfuzyjnego transferu roztworzonej substancji przez okołoziarnową warstwę graniczną. Hipoteza ta uwzględnia zarazem wpływ iloczynu rozpuszczalności na kinetykę zjawiska roztwarzania. Proces roztwarzania z towarzyszącymi mu zjawiskami równoległymi opisano używając równań różniczkowych cząstkowych, w których dwa podstawowe parametry, koncentrację substancji aktywnej w ośrodku porowatym G oraz koncentrację substancji aktywnej roztworzonej w poruszającym się płynie C potraktowano jako funkcje położenia x i czasu t. Ze względu na istniejące nieliniowości i sprzężenie równań do rozwiązywania ich zastosowano metodę różnic skończonych. W celu spełnienia wymagań dotyczących stabilności i zbieżności procedur numerycznych starano się sformułować algorytm możliwie głęboko implicite. Zastosowano linearyzację członów nieliniowych opartą na ‘obcięciu’ wyrażeń drugiego i wyższych rzędów ze względu na krok czasowy obliczeń. Tak sformułowane dwa algorytmy (semi-implicite i quasi-implicite) prowadzą na każdym z kolejnych czasowych poziomów obliczeń do rozwiązywania równań macierzowych z wektorem niewiadomym zawierającym nieznane wartości koncentracji w poszczególnych węzłach przestrzennej siatki numerycznej.

EN

In the paper the author considered the problem of dissolution of active substances dispersed as small grains located in the skeleton of a porous material. It has been assumed that the fluid flowing through a porous medium dissolves substances embedded in the skeleton, and transfers them with advection velocity u different from the superficial flow velocity υ. The dissolution process is regarded to be accompanied by advection, dispersion, microscale diffusion (diffusion in the vicinity of dissolving grain), and macro-scale diffusion. The dissolution process is regarded as the chemical reaction realised according to one of three alternative models: progressive conversion model, unreacted core model, and shrinking core model. The dissolution models have been completed with the Ficklaw based hypothesis concerning the diffusion-type transfer of the dissolved substance through the grain boundary layer. The hypothesis involves the influence of the solubility ratio R on the kinetics of dissolution process. The dissolution process accompanied by advection, diffusion and dispersion have been described by means of the system of partial differential equations. Two principal parameters involved in the differential equations, the concentration of the active substance in a porous medium G, and the concentration of the active substance in the flowing fluid C are regarded as continuous functions of position x and time t. Taking into account the non-linearity of equations the finite difference technique has been applied. An attempt to apply implicit-type approximation to avoid instability problems has been undertaken. The author applied the linearization of non-linear terms based on truncation of second order terms with respect to time step. Two efficient computational algorithms, the semi-implicit algorithm, and the quasi-implicit algorithm imply to solve the matrix equation for successive computational time levels. In the matrix equation the components of the unknown vector represent the magnitudes of concentrations of the active substance for i-th computational blocks at the new n + 1 computational time level.

Słowa kluczowe

PL

roztwarzanie; kinetyka reakcji chemicznych; modelowanie numeryczne; metoda różnic skończonych

EN

dissolution; chemical reaction kinetics; numerical simulation; finite difference method

• Wydawca: Instytut Mechaniki Górotworu PAN
• Czasopismo: Prace Instytutu Mechaniki Górotworu PAN
• Rocznik: 2006
• Tom: Vol. 8, no. 1-4
• Strony: 117--128
• Opis fizyczny: Bibliogr. 34 poz.

Twórcy

autor

Sławomirski M. R.

• Instytut Mechaniki Górotworu PAN, ul. Reymonta 27; 30-059 Kraków

Bibliografia

• BACHMAT Y., BEAR J., (1964): The General Equations of Hydrodynamic Dispersion, Journal of Geophysical Research, 69, (No. 12), 2561.
• BANACH S., (1932): Theorie des operations lineaires, Warszawa.
• BASIŃSKI A., (1968): Kinetyka chemiczna, (w:) Monografia: Chemia Fizyczna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa.
• BEAR J., (1972): Dynamics of Fluids in Porous Media, American Elsevier, New York.
• BEAR J., BACHMAT Y., (1967): A Generalised Theory of Hydrodynamic Dispersion in Porous Media, I.A.H.S. Symposium on Artificial Recharge and Management in Aquifiers, Haifa, Israel.
• BERKOVITZ B., BEAR J., BRAESTER C., (1998): Continuun Model of Contaminant Transport in Fractured Porous Formations, Water Reseources Research, 24, 1225.
• CARMAN P.C., (1937): Fluid Flow through a Granular Bed, Transactions of the Institute of Chemical Engineers London, 15, 150.
• COLLAZ L., (1955a): Numerische Behandlung von Differentialgleichungen, Springer, Berlin–Goettingen–Heidelberg.
• COLLAZ L., (1955b): Numerische und Graphische Metoden, (w:) Handbuch der Physik, herausgegeben von S. FLUEGGE, Bd. II, Mathematische Metoden II, Springer, Berlin–Goettingen–Heidelberg.
• COLLINS R.E., (1961): The Flow of Fluids through Porous Materils, Van Nostrand, New York.
• JOHN F., (1952): Communications of Pure and Applied Mathematics, 5, 155.
• JOHN F., (1953): Communications of Pure and Applied Mathematics, 8, 591.
• LAVENSPIEL O., (1972): Chemical Reaction Engineering, John Wiley & Sons, New York.
• LAX P.D., (1953): Seminar held at Courant Institute of Mathematical Sciences.
• LAX P.D., RICHTMYER R.D., (1956): Communications of Pure and Applied Mathematics, 9, 267.
• LUSTERNIK L.A., SOBOLEW I., (1959): Elementy Analizy Funkcjonalnej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa.
• MAURIN K., (1959): Metody przestrzeni Hilberta, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa.
• O’BRIEN, G.G., HYMAN M.A., KAPLAN S., (1950): Journal of Mathematical Physics, 29, 233.
• RICHTMYER R.D., MORTON K.W., (1967): Difference Methods for InitialValue Problems, Interscience, New York–London–Sydney.
• SCHEIDEGGER A.E., (1960): The Physics of Flow through Porous Media, University of Toronto Press, Toronto.
• SŁAWOMIRSKI M.R., (2000): Równanie migracji aktywnych substancji wynoszonych przez wody przepływające w skałach porowatych, Prace Instytutu Mechaniki Górotworu PAN, 2, 107.
• SŁAWOMIRSKI M.R., (2002a): The Balance Equations for Chemically Active Substances Flowing through Porous Media, Bulletin of Polish Academy of Sciences, Series Earth Sciences, 50, 1.
• SŁAWOMIRSKI M.R., (2002b): One-Dimensional Migration of an Active Substance Involving Advection, Diffusion, and Sorption Phenomena, Archives of Mining Sciences, 47, 521.
• SŁAWOMIRSKI M.R., (2004a): The Modelling of Certain Physicochemical Effects Accompanying Underground Deposition of Industrial Waste Materials, Acta Metallurgica Slovaca, 10, 249.
• SŁAWOMIRSKI M.R., (2004b): Modelowanie hazardowych efektów ubocznych podziemnego składowania niebezpiecznych odpadów przemysłowych, XVII Zimowa Szkoła Mechaniki Górotworu, vol. 1, p. 109.
• SŁAWOMIRSKI M.R., (2005a): The Modelling of Dissolution of Active Substances contained in the Underground Depository of Industrial Waste Materials, Hydrometallurgy, 77, 115.
• SŁAWOMIRSKI M.R., (2005b): A Simple Phenomenological Model of Lixivitation of Active Substances Dispersed in a Porous Material. Part I: Progressive Conversion Approach, Archives of Mining Sciences, 50, 161.
• SŁAWOMIRSKI M.R., (2005c): A Simple Phenomenological Model of Lixivitation of Active Substances Dispersed in a Porous Material. Part II: Shrinking Core Approach, Archives of Mining Sciences, 50, 250.
• SŁAWOMIRSKI M.R., (2005d): Modelowanie matematyczne roztwarzania substancji aktywnych zawartych w podziemnym składowisku odpadów z uwzględnieniem dyfuzji i kinetyki reakcji chemicznych, Prace Instytutu Mechaniki Górotworu PAN, 7, 283.
• SŁAWOMIRSKI M.R., (2005e): Kinetyka homogenicznego i heterogenicznego roztwarzania substancji aktywnych, Przegląd Naukowo-Dydaktyczny Prywatnej Wyższej Szkoły Ochrony Środowiska, 9, 81.
• SŁAWOMIRSKI M.R., (2005f): The Analysis of the Dynamics of Leaching Process Applying Non-Linear Boundary Value Problem, Pan-American Institute of Advanced Studies on Differential Equations and Non-Linear Analysis, Centro de Modeliamento Matematico, Universidad de Chile, Santiago, Chile, 10-21 January 2005.
• SMITH M.J., (1956): Chemical Reaction Kinetics, McGraw-Hill, New York.
• WALAS S.M., (1963): Kinetyka reakcji dla inżynierów chemików, Warszawa.
• WORCH E., (2004): Modelling of the Solute Transport under Non-Equilibrium Conditions on the Basis of Mass Transfer Equations, Journal of Contamint Hydrology, 68, 97.