Bayes statistical decisions with random fuzzy data – an application for the Weibull distribution

• Autorzy: Hryniewicz O. , Kaczmarek K. , Nowak P.

Identyfikatory

DOI

10.17531/ein.2015.4.18

Warianty tytułu

PL

Rozmyto-bayesowski model podejmowania decyzji statystycznych – zastosowanie do rozkładu Weiulla

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

In the majority of decision models used in practice all input data are assumed to be precise. This assumption is made both for random results of measurements, and for constant parameters such as, e.g. costs related to decisions. In reality many of these values are reported in an imprecise way. When this imprecision cannot be related to randomness the fuzzy set theory yields tools for its description. It seems to be important to retain both types of uncertainty, random and fuzzy, while building mathematical models for making decisions. In the paper we propose a fuzzy-Bayesian model for making statistical decisions. In the proposed model the randomness of data is reflected in related risks, and fuzziness is described by possibility measures of dominance such as PSD (Possibility of Strict Dominance) and NSD (Necessity of Strict Dominance). The proposed model allows a decision-maker to reflect in his/hers decisions different types of uncertainty. The theoretical results have been applied in the case of reliability data described by the Weibull distribution.

PL

W większości stosowanych w praktyce modeli decyzyjnych zakłada się, że wszystkie występujące w nich dane wejściowe są podane w sposób precyzyjny. Założenie to dotyczy zarówno losowych wyników pomiarów jak też i stałych parametrów, takich jak np. koszty podjętych decyzji. W rzeczywistości wiele z tych wartości jest podawanych w sposób nieprecyzyjny. Jeżeli taki brak precyzji nie ma charakteru losowego, to teoria zbiorów rozmytych dostarcza narzędzi do opisu tego zjawiska. Wydaje się rzeczą istotną, by przy tworzeniu matematycznych modeli podejmowania decyzji zachować oba typy niepewności: losowość i rozmytość. W pracy proponujemy rozmyto-bayesowski model podejmowania decyzji statystycznych. W proponowanym modelu losowość odpowiada za związane z podjęciem decyzji ryzyko, zaś rozmytość jest opisana przez miary możliwości dominacji, takie jak PSD (Możliwość Ścisłej Dominacji) oraz NSD (Konieczność Ścisłej Dominacji). Zaproponowany model pozwala decydentowi ująć w procesie podejmowania decyzji różne rodzaje niepewności. Rozważania teoretyczne zostały w pracy zastosowane do analizy danych niezawodnościowych opisanych rozkładem Weibulla.

Słowa kluczowe

EN

Bayesian statistics; fuzzy data; possibility measures; reliability; Weibull distribution

PL

statystyka bayesowska; dane rozmyte; miary możliwości; niezawodność; rozkład Weibulla

• Wydawca: Polskie Naukowo-Techniczne Towarzystwo Eksploatacyjne
• Czasopismo: Eksploatacja i Niezawodność
• Rocznik: 2015
• Tom: Vol. 17, no. 4
• Strony: 610--616
• Opis fizyczny: Bibliogr. 29 poz.

Twórcy

autor

Hryniewicz O.

• Systems Research Institute and Warsaw School of Information Technology Newelska 6, 01-447 Warsaw, Poland

autor

Kaczmarek K.

• Systems Research Institute Newelska 6, 01-447 Warsaw, Poland

autor

Nowak P.

• Systems Research Institute Newelska 6, 01-447 Warsaw, Poland

Bibliografia

• 1. Casals M.R. Bayesian testing of fuzzy parametric hypotheses from fuzzy information. RAIRO, Operations Research 1993; 27: 189-199.
• 2. Casals M.R., Gil M.A., Gil P. On the use of Zadeh's probabilistic definition for testing statistical hypotheses from fuzzy information. Fuzzy Sets and Systems 1986; 20: 175-190, http://dx.doi.org/10.1016/0165-0114(86)90076-X.
• 3. Casals M.R., Gil M.A., Gil P. The Fuzzy Decision Problem: an approach to the Problem of Testing Statistical Hypotheses with Fuzzy Information. European Journal of Operational Research 1986; 27: 371-382, http://dx.doi.org/10.1016/0377-2217(86)90333-4.
• 4. Cutello V., Montero J. An Extension of the Axioms of Utility Theory Based on Fuzzy Rationality Measures. In: Fodor J., De Baets B., Perny P. (Eds.) Preference and Decisions under Incomplete Knowledge. Heidelberg: Physica-Verlag, 1999, 33 - 50.
• 5. De Groot M.H. Optimal Statistical Decisions. New York: McGraw Hill, 1970.
• 6. Delgado M., Verdegay J.L., Vila M.A. Testing fuzzy hypotheses. A Bayesian approach. In: Gupta M.M., Kandel A., Bandler W., Kiszka J.B. (Eds.) Approximate Reasoning in Expert Systems. Amsterdam: Elsevier, 1985, 307-316.
• 7. Dubois D., Prade H. Fuzzy Sets and Systems. Theory and Applications. New York: Academic Press, 1980.
• 8. Dubois D., Prade H. Ranking fuzzy numbers in the setting of possibility theory. Information Sciences 1983; 3: 184-244, http://dx.doi.org/10.1016/0020-0255(83)90025-7.
• 9. Fernández A.J. Weibull inference using trimmed samples and prior information. Statistical Papers 2009; 50: 119-136, http://dx.doi.org/10.1007/s00362-007-0067-2.
• 10. Frühwirth-Schnatter S. Fuzzy Bayesian inference. Fuzzy Sets and Systems 1993; 60: 41-58, http://dx.doi.org/10.1016/0165-0114(93)90288-S.
• 11. Gil M.A., Hryniewicz O. Statistics with Imprecise Data. In: Meyers R. A. (Ed.) Encyclopedia of Complexity and Systems Science. Heidelberg: Springer, 2009, 8679-8690.
• 12. Gil M.A., Lopez-Diaz M. Fundamentals and Bayesian Analyses of Decision Problems with Fuzzy-Valued Utilities. International Journal of Approximate Reasoning 1996; 15: 203-224, http://dx.doi.org/10.1016/S0888-613X(96)00073-4.
• 13. Grzegorzewski P., Hryniewicz O. Soft Methods in Hypotheses Testing. In: Ruan D., Kacprzyk J., Fedrizzi M. (Eds.) Soft computing for risk evaluation and management. Heidelberg: Physica Verlag, 2001, 55-72, http://dx.doi.org/10.1007/978-3-7908-1814-7_4.
• 14. Hryniewicz O. Estimation of life-time with fuzzy prior information: application in reliability. In: Kacprzyk J., Fedrizzi M. (Eds.) Combining Fuzzy Imprecision with Probabilistic Uncertainty in Decision Making. Berlin: Springer-Verlag, 1988, 307-321, http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-46644-1_21.
• 15. Hryniewicz O. Possibilistic approach to Bayes statistical decisions. In: Grzegorzewski P., Hryniewicz O., Gil M.A. (Eds.) Soft methods in probability, statistics and data analysis. Heidelberg: Physica-Verlag, 2002, 207-218, http://dx.doi.org/10.1007/978-3-7908-1773-7_20.
• 16. Hryniewicz O. Fuzzy sets in the evaluation of reliability. In: Levitin G. (Ed.) Computational intelligence in reliability engineering. Berlin: Springer-Verlag, 2007, 363-386, http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-37372-8_13.
• 17. Kaminskiy M.P., Krivtsov V.W. A Simple procedure for Bayesian Estimation of the Weibull Distribution. IEEE Transactions on Reliability 2005; 54: 612-616, http://dx.doi.org/10.1109/TR.2005.858093.
• 18. Kruse R. The strong law of large numbers for fuzzy random variables. Information Sciences 1982; 28: 233-241, http://dx.doi.org/10.1016/0020-0255(82)90049-4.
• 19. Kruse R., Meyer M.D. Statistics with Vague Data. Dordrecht: D. Reidel, 1987, http://dx.doi.org/10.1007/978-94-009-3943-1.
• 20. Kwakernaak H. Fuzzy random variables, Part I: definitions and theorems. Information Sciences 1978; 15: 1-15, http://dx.doi.org/10.1016/0020-0255(78)90019-1.
• 21. Kwakernaak H. Fuzzy random variables, Part II: algorithms and examples for the discrete case. Information Sciences 1978; 17: 253-278, http://dx.doi.org/10.1016/0020-0255(79)90020-3.
• 22. Lawless J.F. Statistical models and methods for lifetime data. New York: J. Wiley and Sons, 1982.
• 23. Martz H.F., Waller R.A. Bayesian Reliability Analysis. New York: J. Wiley & Sons, 1982.
• 24. Raiffa H., Schleifer R. Applied Statistical Decision Theory. Cambridge: The M.I.T. Press, 1961.
• 25. Taheri S.M., Behboodian J. A Bayesian approach to fuzzy hypotheses testing, Fuzzy Sets and Systems 2001; 123: 39-48, http://dx.doi.org/10.1016/S0165-0114(00)00134-2.
• 26. Tanaka H., Okuda T., Asai K. Fuzzy information and decisions in statistical model. In: Gupta M.M., Ragade R.K., Yager R.R. (Eds.) Advances in Fuzzy Sets Theory and Applications. Amsterdam: North-Holland, 1979, 303-320.
• 27. Viertl R. Statistical Methods for Fuzzy Data. Chichester UK: J. Wiley & Sons, 2011, http://dx.doi.org/10.1002/9780470974414.
• 28. Viertl R., Hareter D. Generalized Bayes' theorem for non-precise a-priori distribution. Metrika 2004; 59: 263-273, http://dx.doi.org/10.1007/s001840300283.
• 29. Zadeh L.A. Fuzzy sets as a basis for a Theory of Possibility. Fuzzy Sets and Systems 1978; 1: 3-38, http://dx.doi.org/10.1016/0165-0114(78)90029-5.