Tytuł artykułu
Autorzy
Wybrane pełne teksty z tego czasopisma
Identyfikatory
Warianty tytułu
Spatium według Euklidesa jako problem w matematyce XV wieku
Języki publikacji
Abstrakty
The study of the development of geometry in periods when it functionned (also)as "branch of physics", offers keys to better understanding of the 17th centuryphenomenon called the "scientific revolution", when the character of the relationship,existing until then between geometry and physics, changed thanks to theCartesian, analytic approach to Euclidean geometry. Descartes' achievement,however, was preceded by almost two centuries of the "premodern" (for the lackof a better term) investigations in mathematics and astronomy. In that way, the 17thcentury scholars had at their disposal mathematics that were the result of a particularlyintense evolution since the early decades of the 15th century; for instance,the concept of the "unit segment", applied to the geometrical expression ofarithmetical operations, was known a long time before Bombelli and Descartesmade their own discoveries. The tension between arithmetic (and arithmetizedalgebra), on the one hand, and geometry, on the other, that marked this evolution,revealed the insufficiency of Euclidean geometry (lacking in notion of the "spaceas a whole, as conceived by Descartes", according to Einstein), and incited thesearch for a remedy.
Koncepcja trójwymiarowej, metrycznej „przestrzeni" w Elementach Euklidesa była wynikiem zarówno pitagorejskiej koncepcji liczby, jak i odpowiedzi dawanych na trudności, jakie wynikały dla matematyki z takiej właśnie koncepcji. Zatem, Euklidejska przestrzeń (termin „przestrzeń" nie zaistniał jednak w myśli starożytnej, dlatego, respektując szczególność Euklidejskiej „przestrzeni" i w celu uniknięcia wieloznaczności wprowadzono tutaj na jej określenie termin spatium), była ograniczona do „przestrzennych relacji" między określonymi przedmiotami. Relacje te były wyrażane poprzez relacje między odcinkami. Innymi słowy, pojęcie „przestrzeni" u Euklidesa było, w pewnym znaczeniu, formalnym wyrazem realnej, trójwymiarowej, zamkniętej przestrzeni, odbieranej w poznaniu zmysłowym [przypisy 1,2]. Problemy ze spatium zaczęły się jeszcze w starożytności i miały swe źródło z jednej strony w formalnych niedoskonałościach Euklidejskiego systemu geometrii (kwestia postulatu „O równoległych") z drugiej zaś strony wynikały z rozwoju arytmetyki i algebry, wcielonych do geometrii (geometria bowiem uzasadniała ich twierdzenia), natomiast w rzeczywistości „nie mieszczących się" w koncepcji geometrii odcinków wyrażających rzeczywistość (w tym przestrzeń) fizyczną, o czym wyżej. Przede wszystkim ta druga sprawa, a także kwestia geometrycznej prezentacji liczb ujemnych, są przedmiotem rozważań w obecnym studium. Jak wiadomo problemy te zostały rozwiązane w XVII wieku w Geometrii Descartesa i w dziełach Fermata, dzięki ujęciu relacji „przestrzennych" w sytemie współrzędnych i wyrażeniu przestrzeni „jako całości" (o czym mówi Einstein w zacytowanym fragmencie). Zanim jednak przyszły te nowożytne rozwiązania, problem stwarzany przez Euklidejskie spatium był realną trudnością dla arytmetyki i algebry, operujących już innym pojęciem liczby niż to, któremu odpowiadały Elementy. Fakt, że nie było modelu geometrycznego dla potęg i pierwiastków wyższych niż trzeci oraz brak koncepcji „odcinka ujemnego", który wyrażałby liczby ujemne (wprowadzone przez Giovanniego Bianchiniego do matematyki już w połowie XV wieku), kwestionował status arytmetyki i algebry jako nauki, bowiem to czego nie można było udowodnić geometrycznie „nie było naukowe". (Tu prawdopodobnie tkwią powody zahamowania matematyki „uniwersyteckiej" w XV i XVI wieku oraz jej rozwój w środowiskach handlowców «scuoled'abbaco», inżynierów i architektów) [przypisy 6,7, 12]. Sytuacja matematyki w XV wieku w aspekcie jej odniesień do Euklidejskiego spatium ukazana jest na przykładzie dwóch traktatów Bianchiniego, poświęconych wykładowi arytmetyki oraz wykładowi algebry. Oba traktaty były już przedmiotem wcześniejszych studiów, mających na celu ukazanie XV-wiecznych źródeł matematyki nowożytnej (wprowadzenie przez Bianchiniego ułamków dziesiętnych oraz liczb ujemnych, traktowanie niewymierności jako liczby, koncepcja „odcinka jednostkowego" i jego funkcjonowanie w wyrażaniu niewymierności) [przypisy 3, 5, 8,9]. Gdy chodzi o stosunek Bianchiniego do Euklidejskiegospatium, to w niektórych przypadkach (jak mnożenie liczb o „różnych znakach" - wg obecnej terminologii), Bianchini wydaje się nieświadomy trudności związanych z istnieniem "ujemnego odcinka", podobnie zresztą, jak przeszło sto lat po Bianchinim, nie był tych trudności świadomy Simon Stevin (w rzeczywistości odcinek w ich dowodach na mnożenie liczb ujemnych jest zawsze odcinkiem dodatnim, konsekwentnie nie ma też mowy o "ujemnej płaszczyźnie"). W innych przypadkach, Bianchini ukazuje nieprawidłowości wynikające z interpretowania geometrycznie wyrażeń arytmetycznych czy algebraicznych i w związku z tym niewystarczalność Euklidejskiej koncepcji spatium. Na przykład, gdy mówi otwarcie o niemożliwości przedstawienia geometrycznie działań z potęgami i pierwiastkami powyżej trzeciego stopnia. Wówczas rolę dowodu spełnia poprawność rozwiązania przedstawionego „w liczbach" [przypisy 10,11,13-18]. Wreszcie Bianchini wprowadził szczególną konstrukcję geometryczną z udziałem „odcinka jednostkowego" (ale jej w pełni nie wykorzystał). Konstrukcja ta pojawi się następnie u Bombellego, a u Descartesa stanie się podstawą do zdefiniowania geometrycznie działań arytmetycznych, z uniknięciem trudności „przestrzennych". Będzie to dokonane w ramach geometrii Euklidesa, ale w nowy sposób. Dzięki temu właśnie Descartesstanie się autorem nowego, „całościowego" ujęcia przestrzeni, „niezbędnego dla fizyki Newtona".
Słowa kluczowe
Czasopismo
Rocznik
Tom
Strony
27--42
Opis fizyczny
Bibliogr.12 poz.
Twórcy
autor
- Warsaw
Bibliografia
Typ dokumentu
Bibliografia
Identyfikator YADDA
bwmeta1.element.baztech-2ad297da-92ff-42d9-8661-5bd1bfaf1919
JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce internetowej. Włącz go, a następnie odśwież stronę, aby móc w pełni z niej korzystać.