Refined energy method for the elastic flexural-torsional buckling of steel H-section beam-columns. Part I: Formulation and solution

• Autorzy: Giżejowski Marian , Barszcz Anna , Wiedro Paweł

Identyfikatory

DOI

10.24425/ace.2023.144186

Warianty tytułu

PL

Udoskonalona metoda energetyczna sprężystego wyboczenia giętno-skrętnego stalowych elementów ściskanych i zginanych o przekroju dwuteowym. Część I: Sformułowanie i rozwiązanie

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

Closed form solutions for the flexural-torsional buckling of elastic beam-columns may only be obtained for simple end boundary conditions, and the case of uniform bending and compression. Moment gradient cases need approximate analytical or numerical methods to be used. Investigations presented in this paper deal with the analytical energy method applied for any asymmetric transverse loading case that produces a moment gradient. Part I of this paper is devoted entirely to the theoretical investigations into the energy based out-of-plane stability formulation and its general solution. For the convenience of calculations, the load and the resulting moment diagram are presented as a superposition of two components, namely the symmetric and antisymmetric ones. The basic form of a non-classical energy equation is developed. It appears to be a function dependent upon the products of the prebuckling displacements (know from the prebuckling analysis) and the postbuckling deformation state components (unknowns enabling the formulation of the stability eigenproblem according to the linear buckling analysis). Firstly, the buckling state solution is sought by presenting the basic form of the non-classical energy equation in several variants being dependent upon the approximation of the major axis stress resultant M𝑦 and the buckling minor axis stress resultant Mz. The following are considered: the classical energy equation leading to the linear eigenproblem analysis (LEA), its variant leading to the quadratic eigenproblem analysis (QEA) and the other non-classical energy equation forms leading to nonlinear eigenproblem analyses (NEA). The novel forms are those for which the stability equation becomes dependent only upon the twist rotation and its derivatives. Such a refinement is allowed for by using the second order out-of-plane bending differential equation through which the minor axis curvature shape is directly related to the twist rotation shape. Secondly, the effect of coupling of the in-plane and out-of-plane buckling forms is taken into consideration by introducing approximate second order bending relationships. The accuracy of the classical energy method of solving FTB problems is expected to be improved for both H- and I-section beam-columns. The outcomes of research presented in this part are utilized in Part II.

PL

Rozwiązania w postaci zamkniętej dla wyboczenia giętno-skrętnego (FTB) sprężystych belek-słupów można uzyskać tylko dla prostych warunków brzegowych oraz przypadku równomiernego zginania i ściskania. Przypadki zmiennego momentu zginającego wymagają zastosowania przybliżonych metod analitycznych lub numerycznych. Badania przedstawione w niniejszym artykule dotyczą analitycznej metody energetycznej, stosowanej dla dowolnych przypadków asymetrycznych obciążeń poprzecznych, wywołujących nierównomierny moment zginający. Cześć I prezentowanego artykułu jest w całości poświęcona badaniom teoretycznym nad energetyczną formułą utraty stateczności z płaszczyzny zginania i jej ogólnemu rozwiązaniu. Dla wygody obliczeń obciążenie i wykres momentów zginających przedstawiono jako superpozycje dwóch składowych: symetrycznej i antysymetrycznej. Opracowano podstawową postać nieklasycznego (udoskonalonego) równania energetycznego. Jest ono funkcjonałem zależnym od iloczynów odkształceń stanu przedwyboczeniowego, przemieszczeń osi pręta i ich pochodnych, odpowiednio - 𝑢0 i 𝑤0, oraz składowych stanu odkształcenia pokrytycznego, przemieszczenia z płaszczyzny zginania przedkrytycznego i kąta skręcenia, odpowiednio - 𝑣0 i 𝜙𝑥. Przemieszczenia przedwyboczeniowe 𝑢0 osi pręta i 𝑤0 w płaszczyźnie zginania są znane i mogą być powiązane z siłą osiową 𝑁 i momentem zginającym względem osi głównej 𝑀𝑦 otrzymanymi z analizy pierwszego rzędu (LA). Składowe stanu deformacji 𝑣0 i 𝜙𝑥 z płaszczyzny płaskiego stanu zginania oraz ich pochodne są niewiadomymi umożliwiającymi sformułowanie problemu stateczności jako problemu wartości własnych (LBA). W artykule, po pierwsze, poszukiwane jest rozwiązanie stanu wyboczenia poprzez przedstawienie podstawowej postaci nieklasycznego równania energetycznego w kilku wariantach, zależnych od aproksymacji momentu 𝑀𝑧 , a mianowicie klasycznego, prowadzącego do analizy liniowego problemu własnego (LEA) i kwadratowego problemu własnego (QEA) oraz innych form prowadzących do nieliniowych analiz problemów własnych (NEA). Nowe formy to te, dla których równanie stateczności zależy tylko od kąta skręcenia i jego pochodnych. Takie udoskonalenie jest możliwe, gdy do zginania z płaszczyzny zastosowane zostanie równanie różniczkowe drugiego rzędu, za pomocą którego krzywizna osi słabszej jest bezpośrednio powiązana z kątem skręcenia. Po drugie, uwzględniono efekt sprzężenia form wyboczenia w płaszczyźnie i z płaszczyzny zginania przedwyboczeniowego przez wprowadzenie przybliżonych zależności zginania drugiego rzędu. Dzięki uwzględnieniu tych efektów znacznie poprawiono dokładność klasycznej metody energetycznej rozwiazywania problemów FTB elementów ściskanych i zginanych w płaszczyźnie większej bezwładności przekroju, zarówno w wypadku przekroju dwuteowego H, jak i I. Wyniki tej części są wykorzystywane w Części II, dotyczącej porównania i weryfikacji rozwiązań uzyskanych w formie zamkniętej w Części I artykułu.

Słowa kluczowe

EN

steel beam-column; bisymmetric cross-section; I shape member; H shape section; elastic behaviour; flexural-torsional buckling; classical method; energy method; refined energy method; analytical solution

PL

belka-słup stalowy; dwuteownik bisymetryczny; element dwuteowy; zachowanie sprężyste; wyboczenie giętno-skrętne; metoda klasyczna; metoda energetyczna; metoda udoskonalona; rozwiązanie analityczne

• Wydawca: Komitet Inżynierii Lądowej i Wodnej PAN ; Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Lądowej
• Czasopismo: Archives of Civil Engineering
• Rocznik: 2023
• Tom: Vol. 69, nr 1
• Strony: 513--537
• Opis fizyczny: Bibliogr. 24 poz., il., tab.

Twórcy

autor

Giżejowski Marian

• Warsaw University of Technology, Faculty of Civil Engineering, Warsaw, Poland

• https://orcid.org/0000-0003-0317-1764

autor

Barszcz Anna

• Warsaw University of Technology, Faculty of Civil Engineering, Warsaw, Poland

• https://orcid.org/0000-0002-6476-227X

autor

Wiedro Paweł

• Warsaw University of Technology, Faculty of Civil Engineering, Warsaw, Poland

• https://orcid.org/0000-0002-0410-7353

Bibliografia

• [1] A.M. Barszcz, M.A. Giżejowski, and M. Pękacka, “Elastic lateral-torsional buckling of bisymmetric double-tee section beams”, Archives of Civil Engineering, vol. 68, no. 2, pp. 83-103, 2022, DOI: 10.24425/ace.2022.140631.
• [2] A.M. Barszcz, M. Giżejowski, and M. Pękacka, “Practical evaluation of equivalent uniform moment factor for lateral-torsional buckling of bent elements”, Inżynieria i Budownictwo, vol. 77, no. 4-5, pp. 182-186, 2021 (in Polish).
• [3] A.M. Barszcz, M.A. Giżejowski, and Z. Stachura, “On elastic lateral-torsional buckling analysis of simply supported I-shape beams using Timoshenko’s energy method”, in Modern Trends in Research on Steel, Aluminium and Composite Structures, M. Gizejowski, et al., Eds. London: Routledge, 2021, pp. 92-98.
• [4] R. Bijak, “Lateral-torsional buckling moment of simply supported unrestrained monosymmetric beams”, IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, vol. 471, art. no. 032074, pp. 1-8, 2019, DOI: 10.1088/1757-899X/471/3/032074.
• [5] R. Bijak, “Lateral-torsional buckling of simply supported bisymmetric beam-columns”, Journal of Civil Engineering, Environment and Architecture, vol. 64, no. 3, pp. 461-470, 2017, DOI: 10.7862/rb.2017.138 (in Polish).
• [6] R. Bijak, “The lateral buckling of simply supported unrestrained bisymetric I-shape beams”, Archives of Civil Engineering, vol. 61, no. 4, pp. 127-140, 2015, DOI: 10.1515/ace-2015-0040.
• [7] P.E. Cuk and N.S. Trahair, ”Elastic buckling of beam-columns with unequal end moments”, Civil Engineering Transactions, vol. 3. Australia: Institution of Engineers, 1981, pp. 166-171.
• [8] M.A. Giżejowski, A.M. Barszcz and Z. Stachura, “Elastic flexural-torsional buckling of steel I-section members unrestrained between end supports”, Archives of Civil Engineering, vol. 67, no. 1, pp. 635-656, 2021, DOI: 10.24425/ace.2021.136494.
• [9] M. Giżejowski and Z. Stachura, “On evaluation of maximum second-order elastic moment of steel elements under compression and bending being produced by moments applied at supports”, Inzynieria i Budownictwo, vol. 76, no. 4-5, pp. 228-231, 2020 (in Polish).
• [10] M. Giżejowski, Z. Stachura, and A.M. Barszcz, “General method for the flexural-torsional buckling resistance verification of double-tee section members - current status and directions of research at the Warsaw University of Technology”, Inzynieria i Budownictwo, vol. 76, no. 1-2, pp. 60-66, 2020 (in Polish).
• [11] M. Giżejowski, Z. Stachura, and J. Uziak, “Elastic flexural-torsional buckling of beams and beam-columns as a basis for stability design of members with discrete rigid restraints”, in Insights and Innovations in Structural Engineering, Mechanics and Computation, A. Zingoni, Ed. London: Taylor & Francis Group, 2016, pp. 261-262.
• [12] M. Giżejowski and J. Uziak, “On elastic buckling of bisymmetric H-section steel elements under bending and compression”, in Advances in Engineering Materials, Structures and Systems: Innovations, Mechanics and Applications, A. Zingoni, Ed. London: Taylor & Francis Group, 2019, pp. 1160-1167.
• [13] M. Giżejowski, A.M. Barszcz, and J. Uziak, “Elastic buckling of thin-walled beam-columns based on a refined energy formulation”, in Modern Trends in Research on Steel, M.A. Giżejowski, et al., Eds. London: Routledge, Taylor & Francis Group, 2021, pp. 171-177.
• [14] F. Mohri, Ch. Bouzerira, and M. Potier-Ferry, “Lateral buckling of thin-walled beam-column elements under combined axial and bending loads”, Thin-Walled Structures, vol. 46, no. 3, pp. 290-302, 2008, DOI: 10.1016/j.tws.2007.07.017.
• [15] F. Mohri, N. Damil, and M. Potier-Ferry, “Linear and non-linear stability analyses of thin-walled beams with monosymmetric I sections”, Thin-Walled Structures, vol. 48, no. 4-5, pp. 299-315, 2010, DOI: 10.1016/j.tws.2009.12.002.
• [16] M. Pękacka, A. Barszcz, and M. Giżejowski, “Calculation of the critical moment of steel beams of bisymmetric I-sections under combined loading”, Inżynieria i Budownictwo, vol. 77, no. 1-2, pp. 74-79, 2021 (in Polish).
• [17] Y.L. Pi and M.A. Bradford, “Effects of approximations in analyses of beams of open thin-walled cros-ssection-part I: Flexural-torsional stability”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 51, no. 7, pp. 757-772, 2001, DOI: 10.1002/nme.155.
• [18] Y.L. Pi and M.A. Bradford, “Effects of approximations in analyses of beams of open thin-walled cros-ssection - part II: 3-D nonlinear behaviour”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 51, no. 7, pp. 773-790, 2001, DOI: 10.1002/nme.156.
• [19] Y.L. Pi, N.S. Trahair, and S. Rajasekaran, “Energy Equation For Beam Lateral Buckling”, Journal of Structural Engineering, vol. 118, no. 6, pp. 1462-1479, 1992.
• [20] K. Roik, Vorlesungen Uber Stahlbau. Grundlagen. Verlag von Wilhelm Ernst & Sohn, Berlin-Munchen-Dusseldorf, 1978.
• [21] M.A. Serna, A. Lopez, I. Puente, and D.J. Yong, “Equivalent uniform moment factors for lateral-torsional buckling of steel members”, Journal of Constructional Steel Research, vol. 62, pp. 566-580, 2006, DOI: 10.1016/j.jcsr.2005.09.001.
• [22] S P. Timoshenko and J.M. Gere, Theory of Elastic Stability, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, 1961.
• [23] N.S. Trahair, Flexural-Torsional Buckling of Structures. Boca Raton: CRC Press, 1993.
• [24] N.S. Trahair, M.A. Bradford, D.A. Nethercot, and L. Gardner, The behaviour and design of steel structures to EC3, 2nd ed. London-New York: Taylor and Francis, 2008.