Zastosowanie rachunku ułamkowego rzędu do modelowania pewnej klasy generatorów nieliniowych

• Autorzy: Zawadzki A. , Włodarczyk M.

Warianty tytułu

EN

Application of fractional differential calculus used to modeling a class of nonlinear generators

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

W pracy przedstawiono metodę linearyzacji nieliniowego równania stanu z zastosowaniem geometrycznej transformacji zmiennych stanu. Do konstrukcji tej transformacji wykorzystano elementy algebry Liego. Podano odpowiednie definicje i twierdzenia, na podstawie których dokonano linearyzacji nieliniowego równania stanu drugiego rzędu, opisującego pewien nieliniowy generator. Następnie w zlinearyzowanym równaniu, zmieniając operator różniczkowy pierwszego rzędu na operator rzędu ułamkowego, uzyskano liniowy ciągły układ ułamkowego rzędu, który rozwiązano stosując macierzowe funkcje Mittag-Lefflera. Uzyskane wyniki w porównaniu z rozwiązaniem równania pierwszego rzędu przedstawiono na wykresach. Obliczenia wykonano dla rzędów mniejszych i większych od jednego, co pozwoliło na wyciągnięcie pewnych wniosków.

EN

Linearization method for nonlinear equation of state by using the geometric transformation of the state variables is shown in the paper. Some elements of Lie algebra was used for the construction of this transformation. All necesary definitions and principles that are required to linearize the nonlinear state equation describing a second-order non-linear generator is shown. Continuous linear fractional system is the result of change of the first order differential operator on the order of the fractional operator in the linearized equation. It was solved by using matrix Mittag-Leffler functions. A comparison of the results with the solution of equations of the first order is made. The results are shown in diagrams. The calculations were made for the lower and higher than first orders of equations.

Słowa kluczowe

PL

układ nieliniowy; linearyzacja; pochodna ułamkowego rzędu

EN

nonlinear system; linearization; fractional degree derivative

• Wydawca: Wydawnictwo Politechniki Śląskiej
• Czasopismo: Prace Naukowe Politechniki Śląskiej. Elektryka
• Rocznik: 2014
• Tom: z. 1
• Strony: 65--73
• Opis fizyczny: Bibliogr. 12 poz.

Twórcy

autor

Zawadzki A.

• Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

autor

Włodarczyk M.

• Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

Bibliografia

• 1. Bourbaki N.: Lie groups and Lie algebras. Springer, Berlin 1998, Chapters 1–3, Lie groups and Lie algebras, Springer, Berlin 2002, Chapters 4–6.
• 2. Bump D.: Lie Groups, Graduate Texts in Mathematics. Springer, New York, 2004, vol. 225.
• 3. Gancarzewicz J., Opozda B.: Wstęp do geometrii różniczkowej. Wyd. UJ, Kraków 2003.
• 4. Isidori A.: Nonlinear Control Systems. Springer, Berlin 1995.
• 5. Kaczorek T.: Fractional positive linear system and electrical circuits. „Przegląd Elektrotechniczny” 2008, nr 9, s. 135-141.
• 6. Krzemiński S., Zawadzki A.: Linearyzacja układu równań Lagrange’a metodą geometryczną. SPETO’99, Gliwice-Ustroń 1999, s. 265-268.
• 7. Krzemiński S., Zawadzki A.: Geometric approach to modelling of nonlinear electrical networks. SPETO'2002. Gliwice 2002, s. 191-194.
• 8. Nijmeijer H., van der Schaft A.J.: Nonlinear Dynamical Control Systems. Springer-Verlag, New York 1991.
• 9. Oprea J.: Geometria różniczkowa i jej zastosowania. PWN, Warszawa 2002.
• 10. Osowski S.: Modelowanie i symulacja układów i procesów dynamicznych. Wydawnictwo OWPW, Warszawa 2007.
• 11. Włodarczyk M., Zawadzki A.: Connecting a Capacitor to Direct Voltage in Aspect of Fractional Degree Derivatives. „Przegląd Elektrotechniczny” 2009, nr 10, p. 120-122.
• 12. Zawadzki A.: Analiza porównawcza metod wyznaczania transformacji linearyzujących nieliniowe równania stanu układu. „Przegląd Elektrotechniczny”(w druku).