Boltzmann equation in the modeling of mineral processing

• Autorzy: Zhukov V. P. , Otwinowski H. , Belyakov A. N. , Wyleciał T. , Mizonov V. E.

Identyfikatory

DOI

10.1515/amsc-2015-0033

Warianty tytułu

PL

Równanie Boltzmanna w modelowaniu procesów przeróbczych

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

The paper presents an application of the Boltzmann kinetic equation to the simultaneous modeling of multi-dimensional processes. This equation defines the evolution of the distribution of the probabilisty density in a given phase space. In the case of a grinding process, the considered phase space is defined by the Cartesian coordinates of particle position, the components of particle velocity and the particle size. The theory of Markov processes is used in the paper to solve the Boltzmann equation for the multi-dimensional space of system states. In order to verify the presented model, research into the simultaneous comminution and movement of material in a drum ball mill was performed. The methodology developed to solve the Boltzmann equation significantly reduces the computational time, which is particularly important in the solution of multi-dimensional problems.

PL

Równanie Boltzmanna jest podstawowym równaniem kinetycznej teorii gazów opisującym ewolucję cząstek w rozrzedzonym gazie. W równaniu tym występuje funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej w trójwymiarowej przestrzeni fazowej (funkcja rozkładu). W artykule przedstawiono sposób wykorzystania równania Boltzmanna do analizy procesów przeróbki mechanicznej surowców mineralnych. Wynikiem tej analizy jest matematyczny model występujących równocześnie procesów mielenia, klasyfikacji i transportu materiałów ziarnistych. W tym przypadku równanie Boltzmanna opisuje ewolucję gęstości rozkładu ziaren względem składowych prędkości, współrzędnych kartezjańskich oraz rozmiaru ziarna. W młynie funkcja rozkładu zmienia się w wyniku rozdrabniania i ruchu ziaren, a w klasyfikatorze tylko w wyniku ruchu ziaren. W ogólnym przypadku funkcja rozkładu zależy od: czasu, ruchu ziaren, prędkości ziaren i rozmiaru ziaren, który zmienia się w wyniku rozdrabniania. Uwzględnienie zjawisk losowych wymaga wprowadzenia składowej dyfuzyjnej do równania Boltzmanna. W artykule rozpatrzono zastosowanie równania Boltzmanna do rozdrabniania periodycznego i ciągłego. W otrzymanych postaciach równania można uwzględnić rzeczywiste warunki technologiczne, co pozwala opisać stanu układu podczas oddzielnych lub jednoczesnych procesów przeróbczych. Przy założeniu jednowymiarowości procesów rozpatrywane zagadnienie sprowadza się do znanych przypadków, analizowanych jako oddzielne procesy. Obliczenia numeryczne wykonano metodą macierzową z wykorzystaniem teorii łańcuchów Markowa. Przedstawiono wyniki obliczeń dla przypadku jednoczesnego rozdrabniania i ruchu ziaren w młynie bębnowym kulowym. Analiza wyników obliczeń wykazała, że przebieg ewolucji stanu układu ziaren jest prawidłowy. W przyszłych badaniach można uwzględnić w równaniu Boltzmanna kształt ziaren, co oznacza wprowadzenie dodatkowych trzech współrzędnych do przestrzeni fazowej. Współrzędne te związane są ze zmianą długości, szerokości i wysokości ziarna.

Słowa kluczowe

EN

Boltzmann equation; mineral processing; comminution; classification; particles transport; matrix model; ball mill

PL

równanie Boltzmanna; procesy przeróbcze; rozdrabnianie; klasyfikacja; transport ziaren; model macierzowy; młyn kulowy

• Wydawca: Instytut Mechaniki Górotworu PAN
• Czasopismo: Archives of Mining Sciences
• Rocznik: 2015
• Tom: Vol. 60, no. 2
• Strony: 507--516
• Opis fizyczny: Bibliogr. 18 poz., rys., wykr.

Twórcy

autor

Zhukov V. P.

• Department of Applied Mathematics, Ivanovo State Power University, Rabfakovskaya 34, 153003 Ivanovo, Russia

autor

Otwinowski H.

• Institute of Thermal Machinery, Czestochowa University of Technology, Armii Krajowej 21, 42-201 Częstochowa, Poland

autor

Belyakov A. N.

• Department of Applied Mathematics, Ivanovo State Power University, Rabfakovskaya 34, 153003 Ivanovo, Russia

autor

Wyleciał T.

• Department of Industrial Furnaces and Environmental Protection, Czestochowa University of Technology, Armii Krajowej 19, 42-201 Częstochowa, Poland

autor

Mizonov V. E.

• Department of Applied Mathematics, Ivanovo State Power University, Rabfakovskaya 34, 153003 Ivanovo, Russia

Bibliografia

• [1] Anikin Yu.A., Derbakova E.P., Dodulad O.I., Kloss Yu.Yu., Martynov D.V., Rogozin O.A., Shuvalov P.V., Tcheremissine F.G., 2012. Computing of gas flows in micro- and nanoscale channels on the base of the Boltzmann kinetic equation. Procedia Computer Science, 1, 735-744.
• [2] Aristov V.V., Rovenskaya O.I., 2011. Application of the Boltzmann kinetic equation to the eddy problems. Computers and Fluids, 50, 189-198.
• [3] Berthiaux H., Mizonov V., Zhukov V., 2005. Application of the theory of Markov chains to model different processes in particle technology. Powder Technology, 157, 128-137.
• [4] Bozhenko B., Junga R., Pospolita J., 2011. Mathematical model of the milling process on the ring-roller’s table. Part I. Mathematical model and it’s numeric solution. Arch. Min. Sci., 56, 441-450.
• [5] Brożek M., 2010. Probability of particle-bubble collision in pneumo-mechanical flotation cell. Archives of Metallurgy and Materials, 55, 293-304.
• [6] Brożek M., Turno A., 2005. The physical model of partition function of the enrichment process in a heavy liquid. Arch. Min. Sci., 50, 289-305.
• [7] Cercignani C., 1988. The Boltzmann equation and its applications. Springer-Verlag, Berlin.
• [8] Eibeck A., Wagner W., 2003. Stochastic interacting particle systems and nonlinear kinetic equations. Annals of Applied Probability, 13, 845-889.
• [9] Huang K., 1987. Statistical mechanics (in Polish). PWN, Warszawa.
• [10] Kremer G.M., 2010. An Introduction to the Boltzmann Equation and Transport Processes in Gases. Springer-Verlag, Berlin.
• [11] Kubo R., Ichimura H., Usui T., Hashitsume N., 1991a. Statistical mechanics. Springer-Verlag, Berlin.
• [12] Kubo R., Toda M., Hashitsume N., 1991. Statistical Physics (in Polish). PWN, Warszawa.
• [13] Li S., Marshall J.S., Liu G., Yao Q., 2011. Adhesive particulate flow: The discrete-element method and its application In energy and environmental engineering. Progress in Energy and Combustion Science, 37, 633-668.
• [14] Mizonov V., Berthiaux H., Arlabosse P., Djerroud D., 2008. Application of the theory of Markov chains to model heat and mass transfer between stochastically moving particulate and gas flows. Granular Matter, 10, 335-340.
• [15] Mizonov V., Zaitsev V., Volynskii V., Leznov V., 2001. Modeling the moisture content distribution over a rotating porous cylinder using Markov chains. Chemical Engineering and Technology, 34, 1185-1190.
• [16] Mizonov V.E., Ushakov S.G., 1989. Aerodynamic classification of powders (in Russian). Khimiya, Moskva.
• [17] Mizonov V.E., Zhukov V.P., Bernotat S., 1997. Simulation of Grinding: New Approaches. ISPU Press, Ivanovo.
• [18] Rjasanow S., Wagner W., 2005. Stochastic numerics for the Boltzmann equation. Springer, Berlin.