The existence of a weak solution of the semilinear first-order differential equation in a Banach space

• Autorzy: Jużyniec M.

Warianty tytułu

PL

Istnienie słabego rozwiązania semiliniowego równania różniczkowego pierwszego rzędu w przestrzeni Banacha

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

This paper is devoted to the investigation of the existence and uniqueness of a suitably defined weak solution of the abstract semilinear value problem u'(t) = Au(t) + f(t, u(t)), u(0) = x with x ϵ X, where X is a Banach space. We are concerned with two types of solutions: weak and mild. Under the assumption that A is the generator of a strongly continuous semigroup of linear, bounded operators, we also establish sufficient conditions such that if u is a weak (mild) solution of the initial value problem, then u is a mild (weak) solution of that problem.

PL

Celem pracy jest przedstawienie twierdzenia o jednoznaczności i istnieniu słabego rozwiązania abstrakcyjnego semiliniowego równania różniczkowego u'(t) = Au(t) + f(t, u(t)), u(0) = x, gdzie x ϵ X, w przestrzeni Banacha X. W pracy rozważane są dwa typy rozwiązań: weak oraz mild. Przy założeniu, ze operator A jest generatorem silnie ciągłej półgrupy operatorów liniowych i ograniczonych, podane zostały również warunki wystarczające na to, aby rozwiązanie weak (mild) było rozwiązaniem mild (weak) tego zagadnienia.

Słowa kluczowe

EN

operator; semigroup; weak solution

PL

operator; półgrupa; słabe rozwiązanie

• Wydawca: Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej im. Tadeusza Kościuszki
• Czasopismo: Czasopismo Techniczne. Nauki Podstawowe
• Rocznik: 2014
• Tom: R. 111, z. 2-NP
• Strony: 59--62
• Opis fizyczny: Bibliogr. 4 poz., wz.

Twórcy

autor

Jużyniec M.

• Institute of Mathematics, Cracow University of Technology, Poland

Bibliografia

• [1] Ball J.M., Strongly continuous semigroups, weak solutions, and the variation of constant formula, Proc. Amer. Math. Soc., 1977, 370–373.
• [2] Hundertmark D., Meyries M., Machinek L., Schnaubelt R., Operator Semigroups and Dispersive Equations, 16th Internet Seminar on Evolution Equations, 2013.
• [3] Goldstein J., Semigroups of Linear Operators and Applications, Oxford U. Press, New York 1985.
• [4] Pazy A., Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer–Verlag, 1983.