Uogólniona metoda najmniejszych kwadratów

• Autorzy: Puchalski Jacek

Warianty tytułu

EN

Generalized least squares method

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

Artykuł przedstawia uogólnione podejście dla dobrze znanej metody najmniejszych kwadratów stosowanej w praktyce metrologicznej. Wyznaczone niepewności punktów pomiarowych i korelacje między mierzonymi zmiennymi tworzą symetryczną macierz kowariancji, której odwrotność mnożona jest lewostronnie i prawostronnie przez wektory błędów obu zmiennych losowych i stanowi funkcję kryterialną celu. Aby uzyskać maksymalną wartość funkcji największej wiarygodności i rozwiązać złożony problemu minimalizacji funkcji kryterialnej, zaprezentowano oryginalny sposób wyznaczenia funkcji kryterialnej do postaci jednoargumentowej zależności obliczanej numerycznie, w której jedyną zmienną jest poszukiwany współczynnik kierunkowy prostej regresji. Artykuł zawiera podstawowe informacje o tego typu regresji liniowej, dla której najlepiej dopasowana prosta minimalizuje funkcję celu. Na przykładzie obliczeniowym pokazana jest pełna procedura dopasowania numerycznego prostej do danego zestawu punktów pomiarowych o zadanych niepewnościach i współczynnikach korelacji tworzących macierz kowariancji.

EN

The paper presents a generalized approach for the well-known least squares method used in metrological practice. In order to solve the complex problem of minimizing the objective function to obtain the maximum value of the likelihood function, the original way of determining this function in the form of a unary relationship calculated numerically was presented. The article presents borderline cases with analytical solutions. The computational example shows the full procedure of numerical adjustment of a straight line to a given set of measurement points with given uncertainties and correlation coefficients forming the covariance matrix.

Słowa kluczowe

PL

metoda najmniejszych kwadratów; regresja liniowa; niepewność; macierz kowariancji

EN

least square method; linear regression; uncertainty; covariance matrix

• Wydawca: Główny Urząd Miar
• Czasopismo: Metrologia i Probiernictwo : biuletyn Głównego Urzędu Miar
• Rocznik: 2022
• Tom: nr 1 (28)
• Strony: 9--16
• Opis fizyczny: Bibliogr. 3 poz., tab., wykr.

Twórcy

autor

Puchalski Jacek

• Główny Urząd Miar

Bibliografia

• [1] D. York, N. M. Evensen, M. L. Martinez, J. De Basabe Delgado: Unified equations for the slope, intercept and standard errors for the best straight line. American Journal of Physics, vol. 72 (2004), s. 367-375.
• [2] N. R. Draper, H. Smith: Applied Regression Analysis. 3rd Edition, Willey, New York 1998.
• [3] J. Puchalski: A new algorithm for generalization of least square method for straight line regression in Cartesian system for fully correlated both coordina tes. International Journal of Automation, Artificial Intelligence and Machine Learning, vol. 2 (2021), s. 20-54.