Mathematical aspects of musical scales and series

• Autorzy: Kozyra P. M.

Identyfikatory

DOI

10.14708/ma.v42i1.393

Warianty tytułu

PL

Matematyczne aspekty skal muzycznych

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

Musical scales may be interpreted as specific increasing sequences of real numbers. Periodic scales, i.e. musical scales whose pattern is periodic, feature in this article. Of special interest are regular scales for which seven properties are given in four theorems which are new results, involving the concepts of: the period of a scale, the length of the period of a scale, a pattern, being homomorphous, a transposition and being in the same key. This paper considers the idea of musical scales in general, hence it is possible to consider more complex musical scales not just those using the standard twelve-tone equal temperament, and also proposes tools to investigate traditional musical scales as Messiaen’s modes of limited transposition [4, p. 58], the major and the minor scales as well as ancient Greek scales inherited by medieval Western music. The paper also goes beyond the notion of musical scale and contains a new interesting result which allows us to determine when one can form a series from a shorter sequence of sounds by transposing the sequence.

PL

Skale muzyczne są tu interpretowane jako specyficzne rosnące ciągi liczb rzeczywistych. Skale okresowe, tzn. skale muzyczne, których wzorzec jest okresowy, odgrywają w tym artykule kluczową rolę. Szczególnie interesujące pośród nich są skale regularne, które scharakteryzowano na siedem sposobów w 4 twierdzeniach, które są moimi oryginalnymi wynikami, używając takich pojęć jak: okres skali, długość okresu skali, wzorzec, bycie homomorficznym, transpozycja oraz bycie w tej samej tonacji. W tej pracy rozważono pojęcie skali muzycznej bardziej ogólnie, nie ograniczając się tylko do skal w systemie rówomiernie temperowanym. Ponadto za proponowano narzędzia umożliwiające badanie tradycyjnych skal muzycznych takich jak modie Messiaena, skale dur i moll oraz starożytne skale greckie odziedziczone przez średniowieczną muzykę europejską. Praca ta wykracza poza pojęcie skali muzycznej i zawiera nowy rezultat, który umożliwia ustalenie, kiedy można utworzyć serię z krótszego ciągu dźwięków transponując go.

Słowa kluczowe

EN

musical scale; pattern; periodic scale; period of a scale; length of the period of a scale; regular scale; pseudo-regular scale; homomorphous; transposition; same key

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Matematyczne
• Czasopismo: Mathematica Applicanda
• Rocznik: 2014
• Tom: Vol. 42, No. 1
• Strony: 63--93
• Opis fizyczny: Bibliogr. 14 poz., rys.

Twórcy

autor

Kozyra P. M.

• Institute of Mathematics, Polish Academy of Sciences Śniadeckich 8, 00-956 Warszawa

Bibliografia

• [1]. Jan Haluska, “The mathematical theory of tone systems”, Marcel Dekker, INC., 2004, ISBN 0-8247-4714-3. MR 2024220 Zbl 1267.00022
• [2]. Anna Romanowska, “Algebraic language in the theory of harmony”, Tatra Mt. Math. Publ. 23, 2001, 113-123. MR 1899967 Zbl 1047.00011
• [3]. Andrew Duncan “Combinatorial music theory”, Journal of the Audio Engineering Society, vol. 39, 1991 June, 427-448.
• [4]. Olivier Messiaen “The technique of my musical language”, Alphonse Leduc, Paris, 1944. Trans lated by John Satterfield. American Reprint Service, 1987. ISBN 0685148270, 9780685148273.
• [5]. Jack Douthett and Peter Steinbach, “Parsimonious Graphs: A Study in Parsimony, Contextual Transformations, and Modes of Limited Transposition”. Journal of Music Theory 42, no. 2, 1998, 241-63.
• [6]. Christoph Neidhofer, “A Theory of Harmony and Voice Leading for the Music of Olivier Messiaen”. Music Theory Spectrum 27, no. 1, 2005, 1-34.Mathematical aspects of musical scales and series
• [7]. Donald Street, “The Modes of Limited Transposition”. The Musical Times 117, no. 1604, 1976, 819-23
• [8]. David L. Reiner, “Enumeration in Music Theory”, Amer. Math. Monthly, 1985. doi: 10.2307/2322196 MR 777569
• [9]. Tess Knighton and David Fallows, “Companion to Medieval and Renaissance Music”, Berkeley: University of California Press, 1997, ISBN 0-520-21081-6.
• [10]. Cristle Collins Judd, “Tonal Structures of Early Music”. New York: Garland Publishing, 1998, ISBN 0815323883.
• [11]. Michael Bower, “All about Key Signatures”, Modesto, CA: Capistrano School, 2007.
• [12]. George Thaddeus Jones, “Music Theory: The Fundamental Concepts of Tonal Music Includ ing Notation, Terminology, and Harmony”, Barnes & Noble Outline Series 137. New York, Hagerstown, San Francisco, London: Barnes & Noble, 1974, ISBN 9780064601375.
• [13]. Michael Kennedy, “Oxford Dictionary of Music”, second edition, associate editor, Joyce Bourne. Oxford and New York: Oxford University Press, 1994, ISBN 0-19-869162-9.
• [14]. Masaya Yamaguchi, “The Complete Thesaurus of Musical Scales”, revised edition. New York: Masaya Music Services, 2006, ISBN 0-9676353-0-6.