Computation of the ground state energy of the Schrödinger equation by a Monte Carlo method

• Autorzy: Puchalski Adam

Identyfikatory

DOI

10.14708/ma.v49i1.7077

Warianty tytułu

PL

Obliczenia energii stanu podstawowego w równaniu Schrödingera metodą Monte Carlo

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

The paper presents a new method of computing the ground state energy of the time-independent Schrödinger equation. The method is based on a local separation of variables: the Schrödinger equation is transformed to an equivalent system of local one-electron auxiliary equations which is used to derive an expression for the energy integral. The latter allows to calculate the ground-state energy of many-electron systems with the full inclusion of electron correlations. The multidimensional energy integrals are calculated using the Markov Chain Monte Carlo method. We provide benchmark results for two-electron systems which are in agreement with the accurate computations by the configuration interaction (CI) method.

PL

W pracy przedstawiono nową, niestandardową metodę obliczania energii stanu podstawowego w stacjonarnym równaniu Schrödingera. Metoda korzysta z lokalnego rozdzielenia zmiennych, które pozwala sprowadzić równanie Schrödingera dla układu wieloelektronowego do układu równań jedno-elektronowych i wyliczyć z nich całkę energii. Tak wyprowadzona całka energii pozwala obliczyć energię stanu podstawowego dla układów wielo-elektronowych z pełnym uwzględnieniem korelacji elektronów. Do obliczania wielo-wymiarowej całki energii wykorzystuje się algorytm Monte Carlo wykorzystujący łańcuchy Markowa. W pracy przedstawiono wyniki obliczeń dla układów dwu-elektronowych. Otrzymane wyniki porównano z obliczeniami uzyskanymi standardowo w obliczeniach kwantowych metodą oddziaływania konfiguracji (CI) uzyskując bardzo dobrą zgodność wyników przy znacznie mniejszej złożoności obliczeniowej.

Słowa kluczowe

EN

quantum mechanics; Schrödinger equation; Markov chain Monte Carlo; ground state energy; Metropolis-Hastings algorithm; local separation of variables

PL

mechanika kwantowa; równanie Schrödingera; MCMC; energia stanu podstawowego; algorytm Metropolisa-Hastingsa; lokalne rozdzielenie zmiennych

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Matematyczne
• Czasopismo: Mathematica Applicanda
• Rocznik: 2021
• Tom: Vol. 49, no. 1
• Strony: 55--64
• Opis fizyczny: Bibliogr. 12 poz., fot., tab.

Twórcy

autor

Puchalski Adam

• Private, ul. Broniewskiego 7/61, Bielsko-Biała, Poland

Bibliografia

• [1] S. Albeverio, R. Hoegh-Krohn, A remark on the connection between stochastic mechanics and the heat equation, J. Math. Phys. 15, 1745-47 (1974). doi: 10.1063/1.1666536 Cited on p. 58.
• [2] B. M. Austin, D. Yu. Zubarev, W. A. Lester, Quantum Monte Carlo and related approaches, Chem. Rev. 2012, 112, 263-288 (2011). doi: 10.1021/cr2001564 Cited on p. 56.
• [3] W. Cencek, J. Komasa, J. Rychlewski, Benchmark calculations for two-electron systems using explicitly correlated Gaussian functions, Chem. Phys. Lett. 246, 417-420 (1995). doi: 10.1016/0009-2614(95)01146-8 Cited on pp. 60 and 61.
• [4] W. Hastings, Monte Carlo sampling methods using Markov chains and their application, Biometrika, 57, 97-109 (1970). doi: 10.1093/biomet/57.1.97 Cited on p. 59.
• [5] T. Helgaker, P. Jorgensen, J. Olsen, Molecular Electronic-Structure Theory, John Wiley & Sons, 2000. Cited on pp. 55, 58, 60, 61, and 62.
• [6] W.Kolos, L.Wolniewicz, Improved theoretical ground-state energy of the hydrogen molecule, J. Chem. Phys. 49, 404-410 (1968). doi: 10.1063/1.1669836 Cited on p. 60.
• [7] N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, E. Teller, Equation of state calculation by fast computing machines, J. Chem. Phys. 21, 1087-1091 (1953). doi: 10.1063/1.1699114 Cited on p. 59.
• [8] H. Nakashima, H. Nakatsuj, Solving the Schrödinger equation for helium atom and its isoelectronicions with the free iterative complement interaction (ICI) method, J. Chem. Phys. 127, 224104 (2007). doi: 10.1063/1.2801981 Cited on p. 60.
• [9] W. Niemiro, Stochastic Simulations and Monte Carlo Methods (in Polish), University of Warsaw, 2013. Cited on p. 59.
• [10] L. Piela, Ideas of Quantum Chemistry, Elsevier, 3rd Edition, 2020. Cited on pp. 55, 56, 58, 61, 62, and 63.
• [11] J. Rosenthal, Optimal Proposal Distributions and Adaptive MCMC, in Handbook of Markov Chain Monte Carlo, S. Brooks, A. Gelman, G. Jones, d X.-L. Meng, (Eds.), Chapman and Hall/CRC, 2011. Cited on p. 60.
• [12] PyQuante – Python Quantum Chemistry, Copyright (c) 2004, Richard P. Muller. Cited on p. 61.

Uwagi

Opracowanie rekordu ze środków MNiSW, umowa Nr 461252 w ramach programu "Społeczna odpowiedzialność nauki" - moduł: Popularyzacja nauki i promocja sportu (2021).