Adaptive control of continuous time linear stochastic system with quadratic cost functional

• Autorzy: Czornik Adam

Identyfikatory

DOI

10.14708/ma.v25i39.1845

Warianty tytułu

PL

Adaptacyjne sterowanie w stochastycznym układzie liniowym z kwadratowym funkcjonałem kosztów

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

Praca składa się z czterech części. W części pierwszej sformułowano i podano rozwiązanie zagadnienia sterowania optymalnego w liniowym układzie stochastycznym z kwadratowym funkcjonałem kosztów na skończonym i nieskończonym przedziale czasowym. Twierdzenie 1, podające postać sterowania optymalnego na skończonym przedziale czasowym, jest dobrze znane ([l], [5]), natomiast twierdzenie 2 jest uogólnieniem znanych rezultatów. Zwykle formułuje się je przy założeniach gwarantujących istnienie i jedyność rozwiązania algebraicznego równania Riccatiego ([5], [4]). W tym sformułowaniu w jakim znajduje się w pracy można je znaleźć w [16] ale dla układu deterministycznego. W części drugiej zbadano własności algebraicznego równania Riccatiego. Algebraiczne równanie Riccatiego odgrywa pierwszoplanową rolę w konstrukcji sterowania optymalnego i poświęcono mu wiele uwagi w pracach [2], [4], [13], [15], Twierdzenie 5 pokazuje na jakie trudności możemy natrafić w procedurze adaptacyjnego sterowania, gdy nieznane współczynniki równania Riccatiego będziemy zastępować ich ocenami. Problem ten obszerniej omówiono w [4] i [8]. Głównym wynikiem tej części pracy jest twierdzenie 6, które odgrywa zasadniczą rolę w konstrukcji i dowodzie optymalności sterowania adaptacyjnego. W części trzeciej skonstruowano ocenę największego prawdopodobieństwa dla macierzy liniowej transformacji stanu. Estymator ten pojawił się po raz pierwszy w zagadnieniu sterowania optymalnego w pracy [12]. Wreszcie w czwartej, głównej części pracy podano algorytm sterowania adaptacyjnego oraz dowód jego optymalności (twierdzenie 10). Podany algorytm i dowód jego optymalności są modyfikacją wyników podanych w [6] i [7], Obejmują one ogólniejsze przypadki niż w tych pracach, gdzie zakłada się znajomość domkniętego, spójnego i ograniczonego zbioru, do którego należy oceniany parametr, niemniej uzyskane rezultaty są jeszcze dalekie od analogicznych wyników uzyskanych w pracy [3] dla czasu dyskretnego.

EN

An adaptive control problem for linear, continuous time stochastic system is described and solved in this paper. The unknown parameters in the model appear affinely in the drift term of the stochastic differential equation. The parameter estimates given by the maximum likelihood method are used to define the feedback gain. It is proved that the parameter estimates are strongly consistent and the cost functional reaches its minimum, i.e. the adaptive control is optimal. In this paper the continuity of the solution of the algebraic Riccati equation as a function of coefficient is also verified. The continuity is important for applications to problems in adaptive control.

Słowa kluczowe

PL

system stochastyczny; kontrola adaptacyjna; sterowanie adaptacyjne; równanie Riccatiego

EN

stochastic control; adaptive control; Riccati equation

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Matematyczne
• Czasopismo: Matematyka Stosowana : matematyka dla społeczeństwa
• Rocznik: 1996
• Tom: Nr 39
• Strony: 17--40
• Opis fizyczny: Bibliogr. 16 poz.

Twórcy

autor

Czornik Adam

• Politechnika Śląska, Instytut Matematyki, 44-100 Gliwice ul. Kaszubska 23

Bibliografia

• [1] M. Arato, Linear stochastic systems with constant coefficients a statistical approach, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1982.
• [2] H. F. Chen, Recursive estimation and control for stochastic Systems, John Wiley, New York, 1985.
• [3] H. F. Chen i L. Guo, Optimal stochastic adaptive control with quadratic index, Int. J. Control 43 (1986), 869-881.
• [4] A. Czornik i W. Sragovich, Oб асимптотическом поведении алгебраического уравнения Риккати для непреривного времени, Автоматика и Телемеханика 8 (1995), 90-92.
• [5] М. N. A. Davis, Линейное оценивание и стохастическое управление, Наука, 1984.
• [6] Т. Е. Duncan and В. Рasik-Duncan, Adaptive control of continuous time linear systems, Mathematical Control Signal Systems 3 (1990), 45-60.
• [7] T. E. Duncan, P. Mandl and B. Pasik-Duncan, Control Theory Methods for Consistency in Some Least Squares Identification Problems, IEEE Transactions on Automatic Control 8 (1993), 1289-1292.
• [8] В. Г. Гайцгори, А. А. Пepвозвански, Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация, Наука, 1979.
• [9] Р. R. Halmos, A Hilbert space problem book, D. Van Nostrand Company, 1967.
• [10] R. Sz. Lipcer, A. N. Szirajew, Statystyka procesów stochastycznych, PWN Warszawa 1981.
• [11] R.S. Lipser and A. N. Shiryayev, Statistic of Random Processes II Applications, Springer-Verlag, 1978.
• [12] P. Mandl, The use of optimal stationary policies in adaptive control of linear systems, Proc. Symp. to Honour Jerzy Neyman, Warszawa 1974, 223-243.
• [13] W. M. Wonham, Linear multivariable control; a geometric approach, Springer- Verlag, New York, 1979.
• [14] W. M. Wonham, On pole assignment in multi-input controllable linear systems, IEEE Transactions on Automatic Control, 12 (1987), 660-665.
• [15] J. Zabczyk, Remarks on the algebraic Riccati equation in Hilbert space, Applied Mathematics and Optimization 2 (1976), 251-258.
• [16] J. Zabczyk, Zarys matematycznej teorii sterowania, PWN, Warszawa, 1991.