Modelowanie procesów czasowych

• Autorzy: Mitkowski W.

Identyfikatory

DOI

10.15199/24.2018.1.1

Warianty tytułu

EN

Time-based process models

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

W pracy omówiono wybrane problemy dotyczące modelowania układów czasowych, które mają liczne zastosowania. Szczególnym przypadkiem układu czasowego jest system dynamiczny. W modelach liniowych z macierzą systemu A zwrócono uwagę na zaskakujące własności tych modeli. Własności dynamiczne zależą od widma macierzy systemu A. Przedstawiono odpowiedzi na następujące 3 problemy/pytania: 1. Jeżeli macierz systemu A ma parę sprzężonych wartości własnych, to niesterowany układ przy niezerowych warunkach początkowych generuje przebiegi oscylacyjne. Czy istnieje klasa macierzy A posiadająca pary sprzężonych wartości własnych, a w układzie nie wystąpią oscylacje? 2. Klasyczny układ dynamiczny dx/dt =Ax jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy stanu A mają części rzeczywiste ujemne. Niech macierz układu czasowego A ma parę sprzężonych wartości własnych w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej. Czy układ czasowy może być asymptotycznie stabilny? 3. Trzecie pytanie dotyczy realizacji fizycznej. Czy można zbudować oscylacyjny (czyli posiadający parę sprzężonych zespolonych wartości własnych) obwód elektryczny rzędu n=3, którego macierz stanu będzie (cykliczną) macierzą Metzlera M ? Na wszystkie powyższe pytania odpowiedź jest pozytywna. Pierwsze i trzecie pytanie dotyczy tak zwanych układów dodatnich. Pytanie drugie układów niecałkowitego rzędu.

EN

This work describes selected problems regarding time-based process models, which have numerous applications. Dynamic models are a special case of such systems. Some of their surprising features are indicated using linear models with the system matrix A. The dynamic properties depend on the spectrum of the matrix A. The following questions are answered: 1. If the matrix A has a pair of imaginary eigenvalues, the uncontrolled system will generate oscillatory trajectories for initial condition different than zero. Are there any matrices A with imaginary eigenvalues that do not generate oscillatory behaviour of the system? 2. A classic dynamic system dx/dt=Ax is asymptotically stable if and only if the eigenvalues of the matrix A have negative real parts. Let the matrix have a pair of eigenvalues in the right half of the complex plane. Is it possible that the system is asymptotically stable? 3. The third question concerns a physical realization of the model. Is it possible to create an oscillatory (i.e. having a pair of imaginary eigenvalues) electric system of third order, whose state matrix will be a (cyclic) Metzler matrix M? The answer to all these questions is yes. The systems from the first and third one are called positive systems, whereas the second one describes non-integer order systems.

Słowa kluczowe

PL

układy dodatnie; układy Metzlera; układy cykliczne; obwody elektryczne; układy niecałkowitego rzędu

EN

Metzler systems; cyclic systems; electrical circuits; fractional systems

• Wydawca: Wydawnictwo SIGMA-NOT
• Czasopismo: Hutnik, Wiadomości Hutnicze
• Rocznik: 2018
• Tom: Vol. 85, nr 1
• Strony: 2--5
• Opis fizyczny: Bibliogr. 14 poz., rys.

Twórcy

autor

Mitkowski W.

• Akademia Górniczo-Hutnicza – Kraków

Bibliografia

• [1] Farina L., Rinaldi S. 2000. Positive Linear Systems; Theory and Applications, J. Wiley, New York.
• [2] Kaczorek Tadeusz. 1997. Positive linear systems and their relationship with electrical circuits, XX SPETO, Gliwice, 2: 33-41.
• [3] Kaczorek Tadeusz. 2002. Positive 1D and 2D Systems, Springer-Verlag, London.
• [4] Kaczorek Tadeusz. 2011. Selected Problems in Fractional Systems Theory, Springer-Verlag.
• [5] Kaczorek Tadeusz. 2016, Characteristic polynomials of positive and minimal-phase electrical circuits. XXXIX IC-SPETO, Politechnika Śląska, Gliwice-Ustroń 18-21.05.2016.
• [6] Kaczorek, Tadeusz, Rogowski K. 2014. Fractional linear systems and electrical circuits, Oficyna Wydawnicza Politechniki Białostockiej, Białystok.
• [7] Minc H. 1988. Nonnegative Matrices, J. Wiley, New York.
• [8] Mitkowski Wojciech. 2000. Układy podobne do układów dodatnich (Similar systems to the positive systems). Prace XXIII IC-SPETO-2000, Gliwice-Ustroń, 24-27.05.2000.
• [9] Mitkowski Wojciech. 2000. Remarks on stability of positive linear systems. Control and Cybernetics, 29(1): 295-304.
• [10] Mitkowski Wojciech. 2008. Dynamical properties of Metzler systems. Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Technical Sciences, 56(4): 309-312.
• [11] Mitkowski Wojciech. 2012. Remarks about fractional Metzler systems. Oficyna Wydawnicza Politechniki Białostockiej, Białystok.
• [12] Mitkowski Wojciech. 2017. Uwagi o dodatnich obwodach elektrycznych (Remarks About Positive Electrical Circuits). Prace XL IC-SPETO-2017, Gliwice-Ustroń, 17-20.05.2017.
• [13] Matignon D. 1998. Generalized fractional differential and difference equations: Stability properties and modelling issues. In Proceedings of Math. Theory of Networks and Systems Symposium, Padova, Italy.
• [14] Luo Y., Chen Y. Q. 2013. Fractional Order Motion Controls. JohnWiley & Sons Ltd.

Uwagi

Opracowanie rekordu w ramach umowy 509/P-DUN/2018 ze środków MNiSW przeznaczonych na działalność upowszechniającą naukę (2018).