Ograniczanie wyników
Czasopisma help
Autorzy help
Lata help
Preferencje help
Widoczny [Schowaj] Abstrakt
Liczba wyników

Znaleziono wyników: 61

Liczba wyników na stronie
first rewind previous Strona / 4 next fast forward last
Wyniki wyszukiwania
Wyszukiwano:
w słowach kluczowych:  analytical solution
help Sortuj według:

help Ogranicz wyniki do:
first rewind previous Strona / 4 next fast forward last
EN
The initial/boundary value problem for the fourth-order homogeneous ordinary differential equation with constant coefficients is considered. In this paper, the particular solutions an ordinary differential equation with respect to the set of boundary conditions are studied. At least one of the boundary conditions is described by a fractional derivative. Finally, a few illustrative examples of particular solutions to the considered problem are shown.
EN
This paper sheds light on the formulation of a new equilibrium local scour depth equation around a pier. The total bed materials removed from the scour hole due to the force exerted by the fowing fuid after colliding with the pier in the fow feld are estimated. At the equilibrium condition, the shape of the scour hole around the pier may take any form, viz. linear, circular, parabolic, triangular, or combination of diferent shapes. To consider that, two functions are assumed at the stoss and the lee sides of the pier. The total volume of bed materials removed from the scour hole of an arbitrary shape at the stoss and the lee sides of the pier is obtained by integrating the two functions. The equilibrium scour depth is formed by applying the energy balance theorem. An example problem is illustrated and the results are compared with the equations presented by Melville and Coleman (Bridge scour. Water Resources Publication, Colorado, 2000) and HEC-18 (Richardson and Davis in Evaluating scour at bridges, HEC-18. Technical report no. FHWA NHI, 2001).
EN
Introduction and aims: The paper presents a method of solving y=f(y') equations. The main aim of the work is to show how to solve this type of differential equations. In addition, the purpose of the discussion is to present the appropriate algorithms in Mathematica program, which are used to present the geometric interpretation of the obtained solutions. Material and methods: The sources contain material on the subject of differential equations. The method of mathematical analysis has been used. Results: In the analysis of selected examples, the method of substitution of new variable t has been used and the solution of the studied differential equation has been obtained in the form of the system of equations x=x(t) and y=y(t). Conclusion The solution of the differential equation of the type y=f(y') in the form of a system of equations x=x(t) and y=y(t) can be interpreted graphically using an appropriately used algorithm in Mathematica numerical program.
PL
Wstęp i cele: W pracy przedstawiono metodę rozwiązywania równań typu y=f(y'). Głównym celem pracy jest pokazanie sposobu rozwiązywania tego typu równań różniczkowych. Ponadto celem rozważań jest przestawienie odpowiednich algorytmów w programie Mathematica, które służą do przedstawienia interpretacji geometrycznej otrzymanych rozwiązań. Materiały i metody: Źródła zawierają materiał dotyczący tematyki równań różniczkowych. Zastosowano metodę analizy matematycznej. Wyniki: W analizie wybranych przykładów zastosowano metodę podstawienia nowej zmiennej t i otrzymano rozwiązanie badanego równania różniczkowego w postaci układu równań x=x(t) i y=y(t). Wniosek: Rozwiązanie równania różniczkowego typu y=f(y') w postaci układu równań x=x(t) i y=y(t) można zinterpretować graficznie stosując odpowiednio zastosowany algorytm w programie numerycznym Mathematica.
EN
Introduction and aims: The paper presents a method of solving x=f(y') equations. The main aim of the work is to show how to solve this type of differential equations. In addition, the purpose of the discussion is to present the appropriate algorithms in Mathematica program, which are used to present the geometric interpretation of the obtained solutions. Material and methods: The sources contain material on the subject of differential equations. The method of mathematical analysis has been used. Results: In the analysis of selected examples, the method of substitution of new variable t has been used and the solution of the studied differential equation has been obtained in the form of the system of equations x=x(t) and y=y(t). Conclusion: The solution of the differential equation of the type x=f(y') in the form of a system of equations x=x(t) and y=y(t) can be interpreted graphically using an appropriately used algorithm in Mathematica numerical program.
PL
Wstęp i cele: W pracy przedstawiono metodę rozwiązywania równań typu y=f(y'). Głównym celem pracy jest pokazanie sposobu rozwiązywania tego typu równań różniczkowych. Ponadto celem rozważań jest przestawienie odpowiednich algorytmów w programie Mathematica, które służą do przedstawienia interpretacji geometrycznej otrzymanych rozwiązań. Materiały i metody: Źródła zawierają materiał dotyczący tematyki równań różniczkowych. Zastosowano metodę analizy matematycznej. Wyniki: W analizie wybranych przykładów zastosowano metodę podstawienia nowej zmiennej t i otrzymano rozwiązanie badanego równania różniczkowego w postaci układu równań x=x(t) i y=y(t). Wniosek: Rozwiązanie równania różniczkowego typu y=f(y') w postaci układu równań x=x(t) i y=y(t) można zinterpretować graficznie stosując odpowiednio zastosowany algorytm w programie numerycznym Mathematica.
EN
This paper presents the authors' computational methods based on Knothe's theory. The methods enable the estimation of the reduction coefficient for effects which originate from mining operations performed via the application of a longitudinal structure which is sunk in to the ground. It could be, for example, a partition, which as a structural gap fulfils the function of an expansion grout, or via breaking the subsoil continuity (e.g. because of creating a peat-filled ditch or using a natural gap). Demonstrative calculations have been carried out in a few cases, i.a. to protect a structure situated in the vicinity of a planned tunnel. Additionally, some examples of the discontinuity zone which impact the obtained deformation values have been presented. The calculation method has been tested in case studies. The results of the calculations clearly show the positive influence of the applied geotechnical solutions on the minimisation of mining damage.
6
Content available remote Screw dislocations in piezoelectric laminates with four or more phases
EN
We present an analytical solution to the problem of a screw dislocation in a four-phase piezoelectric laminate composed of two piezoelectric layers of equal thickness sandwiched between two semi-infinite piezoelectric media. A new version of the complex variable formulation is proposed such that the 2 × 2 real symmetric matrix appearing in the formulation becomes dimensionless. Using analytic continuation, the original boundary value problem is reduced to the identification of a single 2D analytic vector function which is completely determined following rigorous solution of the resulting linear recurrence relations in matrix form. An explicit expression for the image force acting on the piezoelectric screw dislocation is obtained once the single 2 × 2 real matrix function is identified. We also discuss the solution for a screw dislocation in an N-phase piezoelectric laminate composed of N − 2 piezoelectric layers of equal thickness sandwiched between two semi-infinite piezoelectric media.
EN
Introduction and aim: The paper presents the analytical and numerical algorithm of solving linear nonhomogeneous equations of the first order with changeable coefficients. The aim of the work is to show the algorithms for solving equations both analytically and numerically. The additional aim is to show numerical algorithms and graphical interpretation of solutions. Material and methods: Some selected equations have been chosen from the subject literature. In the solutions the constant variation method has been presented. Results: The paper presents the selected linear non-homogeneous equations of the first order with changeable coefficients containing exponential, logarithmic, trigonometric and cyclometric functions. Conclusion: Taking into account the constant variation method it is possible to solve the first order linear nonhomogeneous differential equations with changeable coefficients. Using the Mathematica program it is possible quickly get a solution and create its graphical interpretation.
PL
Wstęp i cel: W pracy pokazano algorytmy analityczny i numeryczny rozwiązywania równań różniczkowych liniowych niejednorodnych pierwszego rzędu o zmiennych współczynnikach. Celem pracy jest pokazanie algorytmu rozwiązywania równań zarówno sposobem analitycznym jak i numerycznym. Ponadto również dodatkowym celem jest pokazanie algorytmów numerycznych oraz interpretacji graficznej rozwiązań. Materiał i metody: Wybrane równania zaczerpnięto z literatury przedmiotu. W rozwiązaniach równań zastosowano metodę wariacji stałej. Wyniki: W pracy opracowano wybrane równania różniczkowe liniowe niejednorodne pierwszego rzędu o zmiennych współczynnikach zawierających funkcje wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i arcus. Wniosek: Stosując metodę uzmienniania stałej jest możliwe rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych niejednorodnych pierwszego rzędu o zmiennych współczynnikach. Wykorzystując program Mathematica można szybko uzyskać rozwiązanie oraz sporządzić jego interpretację graficzną.
EN
Introduction and aim: The paper presents the analytical and numerical algorithm of solving linear nonhomogeneous equations of the second order with changeable coefficients. The aim of the work is to show the algorithms for solving equations both analytically and numerically. The additional aim is to make some graphical interpretation of solutions. Material and methods: Some selected equations have been chosen from the subject literature. In the solutions the constant variation method has been presented. Results: The paper presents the selected linear non-homogeneous equations of the second order with constant coefficients containing linear, homographic, logarithmic and trigonometric functions. Conclusion: Taking into account the constant variation method it is possible to solve the second order linear non-homogeneous differential equations with changeable coefficients. Using the Mathematica program it is possible quickly get a solution and create its graphical interpretation.
PL
Wstęp i cel: W pracy pokazano algorytm analityczny i numeryczny rozwiązywania równań różniczkowych liniowych niejednorodnych drugiego rzędu o zmiennych współczynnikach. Celem pracy jest pokazanie algorytmu rozwiązywania równań zarówno sposobem analitycznym jak i numerycznym. Ponadto dodatkowym celem jest interpretacji graficznej rozwiązań. Materiał i metody: Wybrane równania zaczerpnięto z literatury przedmiotu. W rozwiażanich równań zastosowano metodę wariacji stałej. Wyniki: W pracy opracowano wybrane równania różniczkowe liniowe niejednorodne drugiego rzędu o zmiennych współczynnikach zawierających funkcje liniowe, homograficzne, logarytmiczne i trygonometryczne. Wniosek: Stosując metodę uzmienniania stałej jest możliwe rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych niejednorodnych drugiego rzędu o zmiennych współczynnikach. Wykorzystując program Mathematica można szybko uzyskać rozwiązanie oraz sporządzić jego interpretację graficzną.
EN
An analytical study of delamination fracture in a two-dimensional functionally graded multilayered beam exhibiting material non-linearity is carried-out. The beam is made of adhesively bonded horizontal layers. The material is two-dimensional functionally graded in the cross-section of each layer. A delamination crack is located symmetrically with respect to the beam mid-span. The delamination is studied in terms of the strain energy release rate. The solution derived is compared with the J-integral for verification. The effects of material gradients, the crack location along the beam height and the material non-linearity on the delamination fracture are investigated. The distribution of the J-integral value along the crack front is analysed too.
PL
W artykule omówiono analityczne rozwiązanie zadania z dynamiki układu dwóch nieskończenie długich belek z wypełnieniem sprężystym. Układ spoczywa na podłożu Winklera i jest obciążony ruchomą siłą skupioną. Ponieważ zagadnienie jest stacjonarne dla obserwatora poruszającego się z obciążeniem, cząstkowe równania różniczkowe opisujące drgania układu transformowano na równania różniczkowe zwyczajne w układzie współrzędnych związanym z ruchomą siłą. Układ równań doprowadzono do jednego równania różniczkowego, zawyżonego rzędu, na ugięcie dolnej belki. Rozwiązanie zadania doprowadzono do prostej całki nieskończonej Fouriera. W pracy przedstawiono obszerny wykaz publikacji z literatury przedmiotu [1-45].
EN
The paper discussed the analytical solution of a dynamic problem of a system of two infinite beams separated by an elastic core. The beams’ system rests on the Winkler foundation and is loaded with a moving concentrated force. Because the problem is stationary for an observer moving with the load, partial differential equations, describing the vibrations of the system, were transformed into ordinary differential equations in the coordinate system related to the moving force. The system of equations was transformed to one differential equation of an eighth order. The equation defines deflection of the lower beam. The solution of the problem was resulted to the simple infinite Fourier integral. An extensive list of publications on the related literature is presented in the paper [1-45].
EN
In this paper rigorous formulae for natural frequencies of in-plane and out-of-plane free vibrations of a rotating ring are derived. An in-plane vibration mode of the ring is characterised by coupled flexural and extensional deformations, whereas an out-of-plane mode is distinguished by coupled flexural and torsional deformations. The expressions for natural frequencies are derived from a generalised toroidal shell theory. For the in-plane vibrations, the ring is considered to be a short top segment of a toroidal shell. For the out-of-plane vibrations, the ring is considered to be a side segment of the shell. Natural vibrations are analysed by the energy approach. The expressions for the ring strain and kinetic energies are deduced from the corresponding expressions for the torus. It is shown that the ring rotation causes bifurcation of natural frequencies of the in-plane vibrations only. Bifurcation of natural frequencies of the out-of-plane vibrations does not occur. Otherwise, for non-rotating rings, the derived formulae for the natural frequencies of the in-plane and the out-of-plane flexural vibrations are very similar. The derived analytical results are validated by a comparison with FEM and FSM (Finite Strip Method) results, as well as with experimental results available in the literature.
EN
An interface crack between two semi-infinite piezoelectric/piezomagnetic spaces under out-of-plane mechanical load and in-plane electrical and magnetic fields parallel to the crack faces is considered. Some part of the crack faces is assumed to be electrically conductive and having uniform distribution of magnetic potential whilst the remaining part of the crack faces is electrically and magnetically permeable. The mechanical, electrical, and magnetic factors are presented via functions which are analytic in the whole plane except the crack region. Due to these representations the combined Dirichlet-Riemann and Hilbert boundary value problems are formulated and solved in rather simple analytical form for any relation between conductive and permeable zone lengths. Resulting from this solution the analytical expressions for stress, electric and magnetic fields as well as for the crack faces displacement jump are presented. The singularities of the obtained solution at the crack tips and at the separation point of the mention zones are investigated and the formulas for the corresponding intensity factors are presented. The influence of external electric and magnetic fields upon the mechanic, electric and magnetic quantities at the crack region are illustrated in graph and table forms.
EN
Shock waves arriving at a dam site are close to plane waves when the center of an underwater explosion is far from the dam site. In general, the wave pressure is calculated with COLE empirical formula. The COLE formula is a negative exponential function with respect to time. In this paper, a new analytical solution algorithm is proposed, which does not require the use of step-by-step time integration. In Comparison with the step-by-step time integration, the proposed algorithm requires relatively less calculation and avoids high-frequency oscillation. Furthermore, the vertical upstream surface and the sloping upstream surface in two types of the dams are analyzed in this paper. The research results indicate that the analytical solution can be applied for a dam with a vertical upstream surface. However, because the upstream face of a dam is inclined, the analytical solution can be obtained only for dams that are at lower height. Whenever the height of a dam is higher, then no analytical solution can be obtained, and only the use of step-by-step time integration can obtain a solution.
EN
The use of hollow catalytic support improves the utilization of the catalytic material because of the absence of the pellet core, and moreover ensures low reactor pressure drop owing to enhanced bed voidage. In this study, the expressions for the efficient computation of the effectiveness factor are derived for a ring-shaped catalyst pellet undergoing first-order irreversible reaction. The methodology consists of using solutions of one-dimensional problems to remove non-homogeneous boundary conditions. The expressions obtained exhibit significantly faster convergence behavior than those reported in literature. The shape parameters, namely, the height-to-diameter ratio and the inner-to-outer radii ratio, significantly affect the catalyst utilization, such that several-fold improvement in the effectiveness factor is achievable.
EN
Heat transfer processes occurring in the micro-domains can be described using the dual-phase lag equation (DPLE). This equation can be applied as a model of heating of the thin metal film subjected to the femtosecond laser pulse. In the paper, the 1D dual phase lag equation containing the additional internal heat source resulting from the laser pulse irradiation and supplemented by the appropriate boundary and initial conditions is considered. Appearing in this equation two lag times τq the phase lag of the heat flux) and τT (the phase lag of the temperature gradient) are taken into account. An analytical solution of this equation under the assumption that τT > τq is presented. The separation of the variables technique and the Green’s function method are used in order to find this solution. In the final part of the paper, the example of computations is presented.
EN
Two elastic plate problems made of duralumin are solved analytically using the displacement potential approach for the case of plane strain and plane stress conditions. Firstly, a one end fixed plate is considered in which the rest of the edges are stiffened and a uniform load is applied to the opposite end of the fixed end. Secondly, a plate is considered in which all of the edges are stiffened and a uniform tension is applied at its both ends. Solutions to both of the problems are presented for the case of plane stress and plane strain conditions. The effects of plane stress and plane strain conditions on the solutions are explained. In the case of stiffening of the edges of the plate, the shape of the plate does not change abruptly, which is clearly observed in both of the cases. For the plane strain condition, the plates become stiffer in the loading direction as compared to the plane stress condition. For the plane strain condition, there is a significant variation of the normal stress component, σzz at different sections of the plate. The graphical results, clearly identify the critical regions of the plate for the case of the plane stress and plane strain condition.
PL
W pracy przedstawiono analityczną metodę wyznaczania mnożnika obciążenia krytycznego giętno-skrętnej utraty stateczności niestężonych słupów wykonanych z dwuteowników bisymetrycznych. Zależności analityczne skonstruowano w ten sposób, by były rozszerzeniem wzorów na moment krytyczny zwichrzenia zginanych belek dwuteowych. Zaletą tego podejścia jest miedzy innymi to, że możemy ocenić wpływ siły osiowej na podstawie zmiany znanych ze wzorów na moment krytyczny zwichrzenia współczynników (w tym przypadku C1 i D). Przemieszczenie z płaszczyzny zginania jest aproksymowane za pomocą funkcji będącej kombinacją symetrycznej i antysymetrycznej postaci wyboczenia. Przykłady numeryczne pokazują dobrą zgodność rozwiązań analitycznych z wynikami otrzymanymi w programie LTBeamN. Metoda może znaleźć praktyczne zastosowanie przy wymiarowaniu metodą ogólną słupów obciążonych mimośrodowo.
EN
In the paper, it was presented analytic method of determination of critical load factor for lateral- torsional buckling of unbraced columns made from bisymmetric I-sections. Analytic formulas were elaborated in a manner to make them extension of expressions used for determination of critical moment for beams under bending. Direct advantage of such approach is possibility of estimation of influence of axial force on basis of known coefficients (C1 and D in this case). Displacement out of bending plane is estimated with use of function which is combination of symmetric and antisymmetric form of buckling. Numerical examples show good consistency of analytic results with those obtained from LTBeamN FEM software. This approach can find practical application for calculations of column with use of the general method.
EN
The goal of the paper was to simplify the designing process for mass and energy flow through solar collector - chimney system. Theoretical analysis allowed to get involved system of three nonlinear analytical equations in dimensionless forms that have been saved. Dimensionless numbers for the problem are well known in the literature on fluid mechanics and thermodynamics: Reynolds, Grashof, Galileo, Biot and Prandtl. In the analyzed equations are also dimensionless geometric parameters expressing the ratios of basic geometrical dimensions of the collector system-chimney: the radius disc collector to the thickness gap, the height and radius of the chimney. In the system of equations, the Reynolds number is treated as the determined number, which is a novelty of the method used.
PL
Przepływ powietrza przez system kolektor słoneczny i komin, opisano w pracy stacjonarnymi równaniami zachowania: pędu (równanie Naviera-Stokesa), masy i energii, które następnie rozwiązano analitycznie przy spełnieniu warunków brzegowych: zanikanie prędkości powietrza na powierzchniach wewnętrznych tarcz kolektora i komina. Teoretyczna analiza pozwoliła uzyskać układ trzech uwikłanych nieliniowych analitycznych równań, które zapisano w postaciach bezwymiarowych. Liczbami bezwymiarowymi w rozwiązywanym problemie są dobrze znane w literaturze dotyczącej mechaniki płynów i termodynamiki liczby: Reynoldsa, Grashofa, Galileusza, Biota i Prandtla. W analizowanych równaniach występują też geometryczne parametry bezwymiarowe wyrażające stosunki podstawowych wymiarów geometrycznych systemu kolektor-komin: promień tarczy kolektora, szerokość szczeliny, wysokość i promień komina. W przedstawionym układzie równań liczba Reynoldsa traktowana jest jako liczba określana, co jest nowością stosowanej metody, a nie jak zazwyczaj bywa zadaną liczbą określającą zjawisko. Obliczanie jej dla danych warunków zewnętrznych i geometrycznych komina pozwala stosunkowo łatwo obliczyć pozostałe szukane wielkości jak prędkości powietrza wlotowego do kolektora i w kominie, rozkład temperatury powietrza w szczelinie i kominie. Otrzymane wielkości pozwalają ostatecznie określić moc badanego systemu kolektor słoneczny-komin. Przedstawiona metoda obliczeniowa porządkuje dotychczasowy sposób projektowania kolektorów słonecznych i może być pomocna dla projektantów inżynierów energetyków.
19
Content available remote On free convection heat transfer from vertical plate - proposition of a new model
EN
The free convection heat transfer from an isothermal vertical plate in open space is investigated theoretically. In contrast to conventional approaches we use neither boundary layer nor self-similarity concepts. We base on expansion of the fields of velocity and temperature in a Taylor Series in x coordinate with coefficients being functions of the vertical coordinate (y). In the minimal version of the theory we restrict ourselves by cubic approximation for both functions. The Navier-Stokes and Fourier-Kirchhoff equations that describe the phenomenon give links between coefficient functions of y that after exclusion leads to the ordinary differential equation of forth order (of the Mittag-Leffleur type). Such construction implies four boundary conditions for a solution of this equation while the links between the coefficients need two extra conditions. All the conditions are chosen on the basis of the experience usual for free convection. The choice allows us to express all the theory parameters as functions of the Rayleigh number and the temperature difference. To support the conformity of the theory we derive the Nusselt-Rayleigh numbers relation that has the traditional form. The solution in the form of velocity and temperature profiles is evaluated and illustrated for air by examples of plots of data.
20
EN
The paper is devoted to the strength analysis of a simply supported three layer beam. The sandwich beam consists of: two metal facings, the metal foam core and two binding layers between the faces and the core. In consequence, the beam is a five layer beam. The main goal of the study is to elaborate a mathematical model of this beam, analytical description and a solution of the three-point bending problem. The beam is subjected to a transverse load. The nonlinear hypothesis of the deformation of the cross section of the beam is formulated. Based on the principle of the stationary potential energy the system of four equations of equilibrium is derived. Then deflections and stresses are determined. The influence of the binding layers is considered. The results of the solutions of the bending problem analysis are shown in the tables and figures. The analytical model is verified numerically using the finite element analysis, as well as experimentally.
PL
Wielowarstwowe konstrukcje są badane od wielu lat i wytwarzane z różnych materiałów, w szczególności rdzeń z materiałów porowatych, komórkowych czy tworzyw sztucznych, w tym pianek metalowych. Szczególne znaczenie w budowie maszyn lub budownictwie mają te konstrukcje, które charakteryzują się dużą wytrzymałością przy stosunkowo niewielkiej masie. Takimi konstrukcjami są właśnie struktury warstwowe, których gęstość rdzenia jest znacznie mniejsza od gęstości okładzin. Z uwagi na ich charakterystyczne własności, takie jak odporność na obciążenia dynamiczne czy absorpcja akustyczna, są szeroko stosowane chociażby w budowie satelitów, statków kosmicznych, przemyśle lotniczym, samochodowym, kolejowym i stoczniowym. Konstrukcje warstwowe wytwarzane są również współcześnie, a ich modelowanie jest nadal aktualnym tematem badań, co jest zauważalne w licznych publikacjach. Przedmiotem pracy jest analiza wytrzymałości pięciowarstwowej belki, której warstwy zewnętrzne (okładziny) połączone są z rdzeniem wykonanym z pianki aluminiowej cienkimi warstwami. Właściwości mechaniczne i fizyczne są różne dla każdej z warstw.
first rewind previous Strona / 4 next fast forward last
JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce internetowej. Włącz go, a następnie odśwież stronę, aby móc w pełni z niej korzystać.