Modele dyspersyjne cienkich płyt periodycznych. Teoria i zastosowania

• Autorzy: Jędrysiak J.

Warianty tytułu

EN

Dispersive models of thin periodic plates

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

W pracy zawarte są rozważania dotyczące modelowania oraz analizy dynamiki i stateczności cienkich, liniowo-sprężystych płyt o budowie periodycznej w płaszczyznach równoległych do płaszczyzny środkowej płyty. Proponowane modele płyt, w przeciwieństwie do modeli zhomogenizowanych, umożliwiają badanie wpływu wielkości komórki periodyczności na dynamikę i stateczność płyty. W celu wyprowadzenia równań o stałych bądź wolnozmiennych współczynnikach dokonano tolerancyjnego uśredniania równania otrzymanego w ramach teorii płyt Kirchhoffa. Podstawowym kinematycznym założeniem tej metody jest przyjęcie, że ugięcie płyty periodycznej jest zgodne z periodyczną budową płyty. Zakłada się, że ugięcie płyty periodycznej można przedstawić w postaci sumy uśrednionego ugięcia, będącego funkcjąwolnozmienną, oraz silnie oscylującego, periodyzującego zaburzenia wywołanego periodyczną budową płyty. Przy czym zaburzenie ugięcia jest aproksymowane przez skończone sumy iloczynów wolnozmiennych funkcji (tzw. zmiennych wewnętrznych lub zmiennych zaburzeń) oraz periodycznych modalnych funkcji kształtu. Modalne funkcje kształtu są rozwiązaniami periodycznego zagadnienia własnego. Zmienne wewnętrzne (lub zaburzeń) oraz uśrednione ugięcie są podstawowymi niewiadomymi. Korzystając z powyższych założeń i uśredniając równanie płyty, otrzymujemy uśrednione modele odpowiadające różnym rodzajom periodyczności. Wyprowadzone modele pozwalają opisać zjawisko dyspersji i dlatego nazwane zostały modelami dyspersyjnymi (a dla zagadnień stacjonarnych - modelami i efektem skali). Otrzymane modele płyt - dyspersyjne lub z efektem skali - zastosowano do analizy: 1° drgań i wyboczenia kwadratowej płyty periodycznej w dwóch kierunkach spoczywającej na periodycznie zmiennym sprężystym podłożu, 2° wyboczenia jednorodnego pasma płytowego spoczywającego na periodycznie zmiennym sprężystym podłożu, 3° drgań i wyboczenia prostokątnej płyty o periodycznie zmieniających się własnościach tylko w jednym kierunku, 4° drgań heteroperiodycznego pasma płytowego. Otrzymane wyniki obliczeń numerycznych umieszczono w tabelach lub przedstawiono w postaci wykresów. Podstawowe oryginalne elementy pracy to: 1° aproksymowanie równania płyty periodycznie niejednorodnej pewnym układem równań o stałych współczynnikach przy zastosowaniu tolerancyjnego uśredniania, będącego odmiennym od homogenizacji asymptotycznej narzędziem modelowania płyt tego rodzaju, 2° uzyskanie równań, które w zagadnieniach dynamiki, stateczności dla płyt o dwu- oraz jednokierunkowej periodyce, a także dla płyt heteroperiodycz-nych, uwzględniają występowanie efektu skali, 3° przeprowadzenie analizy dyspersyjnej i wyznaczenie wyższych częstości drgań własnych oraz ruchów wyższego rzędu wynikających z periodycznej budowy płyty, 4° pokazanie, że efekt skali, który pomijany jest przy zastosowaniu homogenizacji, ma istotne znaczenie także w problemach stateczności płyt czy też w zagadnieniach interakcji płyt z periodycznie niejednorodnym sprężystym podłożem. Sposób modelowania przedstawiony w tej pracy otwiera nowe możliwości w analizie płyt periodycznych. Dalsze badania mogą obejmować przede wszystkim możliwość zastosowania prezentowanej metody tolerancyjnego uśredniania do: analizy zagadnień nieliniowych, formułowania modeli płyt lepko-spręży-stych oraz modelowania płyt przy wykorzystaniu teorii dokładniejszych niż teoria Kirchhoffa.

EN

The subject-matter of this contribution is the modelling and analysis of the macroscopic behaviour of thin linear-elastic plates which have a microperiodic structure in planes parallel to the plate midplane. In contrast with the homogenized models the proposed plate models make it possible to describe the effect of the periodic cell size on the overall behaviour of the plate. In order to derive the governing equations with constant or slowly-varying coefficients the tolerance averaging of the Kirchhoff plate equations is performed. The main kinematic assumption of this method is that the plate deflections conform to the plate periodic structure. It means that the deflection of a periodic plate can be represented by a sum of averaged deflections, which are slowly-varying, and highly oscillating periodic-like disturbances caused by the periodic plate structure. The deflection disturbances are approximated by the finite series of products of slowly-varying functions (called internal variables or disturbance variables) and the periodic mode-shape functions. The mode-shape functions are solutions to a certain periodic eigenvalue problem. The internal (or disturbance) variables together with the averaged deflections are the basic unknowns. Using the above assumptions, after averaging of the plate equation, we obtain the averaged models for plates with different kinds of periodicity. The derived models are able to describe the dispersion phenomena and that is why they are referred to as the dispersive plate models (or the length-scale models for stationary problems). The dispersive (or the length-scale) plate models have been applied to the analysis of following problems: 1° vibrations and buckling of the square plate with two directional periodic structure resting on the periodic elastic foundation, 2° buckling of the homogeneous plate band resting on the periodic elastic foundation, 3° vibrations and buckling of the rectangular plates with one directional periodic structure 4° vibrations of the heteroperiodic plate band. The obtained numerical results have been presented in tables and diagrams. The main new results of the contribution can be listed as follows: 1° the formulation of a new plate model described by equations with constant coefficients, which are derived by applying of the tolerance averaging method to the known equation of periodic plate, 2° the formulation of equations which make it possible to investigate the length-scale effect in dynamics problems for plates with two- or one-directional periodic structure and for heteroperiodic plates, and also in stability problems for plates with one-directional periodic structure or for plates with two-directional periodic structure resting on the periodic elastic foundation, 3° the dispersive analysis of dynamic plate problems, i. e. the obtaining higher order free vibration frequencies and higher order motions related to the periodic structure of the plate, 4° it was shown that the length-scale effect plays a crucial role also in stability problems of plates and in problems of plate interacting with a periodic elastic foundation. It has to be emphasized that the above results cannot be obtained by using models of the plate which are based on the asymptotic homogenisation theory. It can be observed that the application of the tolerance averaging method to the analysis of dynamics and stability for periodic plates makes it possible to investigate a number of new problems. The anticipated courses of investigations can be related to: the non-linear plate problems, the modelling of visco-elastic problems of the plate, the analysis of plates within the framework of theories which are more exact than the Kirchhoff plate.

Słowa kluczowe

PL

modele dyspersyjne; cienka płyta periodyczna; cienka płyta o dwukierunkowej periodyce

EN

dispersive models; thin periodic plates; thin plate with a two-way periodic

• Wydawca: Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej
• Czasopismo: Zeszyty Naukowe. Rozprawy Naukowe / Politechnika Łódzka
• Rocznik: 2001
• Tom: Z. 289
• Strony: 3--152
• Opis fizyczny: Bibliogr. 167 poz.

Twórcy

autor

Jędrysiak J.

• Katedra Mechanika Konstrukcji, Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Środowiska, Politechnika Łódzka,

Bibliografia

• [1] Achenbach J. D., Herrmann G.: Wave motions in solids with lamellar structuring. W: Dynamics of Structured Solids (ed. G. Hermann), New York, ASME (1968).
• [2] Adomeit G.: Determination of elastic constants of a structured material. W: Mechanics of generalized continua, IUTAM symposium, Freudenstad, Stuttgart 1967, ed. E. Kroner. New York (1968), 80-82.
• [3] Alvarez-Vazquez L. J., Quintela-Estevez P.: The effect of different scalings in the modelling of nonlinearly elastic plates with rapidly varying thickness. Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg. (1992), 96, 1-24.
• [4] Ambartsumyan S. A.: Theory of anisotropic plates. Tech. Pub. Co. (1969).
• [5] Artola M., Duvaut G.: Homogénéisation d’une plaque renforcée. C. R. Acad. Sei. Paris, Série A (1977), 284, 707-710.
• [6] Artola M., Duvaut G.: Homogénéisation d’une plaque renforcée par un système périodique de barres curvilignes. C. R. Acad. Sei. Paris, Série A (1978), 286, 659-662.
• [7] Babuška L: Homogenization approach in engineering. W: Computing methods in applied sciences and engineering, Ed. R. Głowiński, J. L. Lions. Berlin- Heidelberg-New York, Springer Verlag (1976), 137-153.
• [8] Bakhvalov N. S., Panasenko G. P.: Averaging of processes in periodic media (Osrednienie processov v periodiceskich sredach). Moskwa, Nauka (1984) [w języku rosyjskim],
• [9] Baron E.: The dynamics of plates with uniaxial periodical structure. Visnyk Lviv Univ. Ser. Mech.-Math. (1999), 55, 80-85.
• [10] Baron E., Jędrysiak J.: On vibrations of plates under periodically distributed inertial loadings. J. of Theor. Appl. Mech. (1998), 36, 4, 1001-1020.
• [11] Baron E., Woźniak C.: On the micro-dynamics of composite plates. Arch. Appl. Mech. (1995), 66, 126-133.
• [12] Bensoussan A., Lions J. L., Papanicolaou G.: Asymptotic analysis for periodic structures. Amsterdam, North Holland (1978).
• [13] Bijak-Żochowski M.: Przybliżona metoda określania zastępczych parametrów sprężystych i naprężeń przy zginaniu grubych płyt perforowanych. Arch. Bud. Maszyn (1973), 20, 2, 255-273.
• [14] Bijak-Żochowski M.: Zastępcze parametry sprężyste przy zginaniu płyt perforowanych o podwójnym prostokątnym układzie otworów. Arch. Bud. Maszyn (1974), 21, 2, 295-304.
• [15] Bourgeat A., Tapiéro R.: Homogénéisation d’une plaque mince, thermoélastique, perforée transversalement, de structure non uniformément périodique, dans le modele de la théorie naturelle. C. R. Acad. Sei. Paris (1983), 297(1), 213-216.
• [16] Caillerie D.: Plaques élastiques minces à structure périodique de période et d’épaisseur comparables. C. R. Acad. Sei. Paris (1982), 294, Série II, 159-162.
• [17] Caillerie D Thin elastic and periodic plates. Math. Meth. in the Appl. Sei. (1984), 6, 159-191.
• [18] Caillerie D.: Non homogeneous plate theory and conduction in composite. W: Homogenization techniques for composite media. Lecture notes in physics (1987), vol. 272, 1-64, Springer-Verlag, Berlin.
• [19] Cauchy A.: Sur l'équilibre et le mouvement d’une plaque élastique dont l’élasticité n’est pas la même dans tous les sens. Exercises de Mathématique (1829), 4, 1-14.
• [20] Chacha D., Sanchez-Palencia E.: Overall behavior of elastic plates with periodically distributed fissures. Asympt. Anal. (1992), 5, 381-396.
• [21] Cielecka L: On the Continuum Modelling the Dynamic Behaviour of Certain Composite Lattice-Type Structures. J. Theo. Appl. Mech. (1995), 33, 351-359.
• [22] Cielecka I.: Continuum modelling of the dynamic problems for lattice-type plates. Visnyk Lviv Univ. Ser. Mech.-Math. (1999), 55, 55-63.
• [23] Cielecka I., Woźniak C., Woźniak M.: Internal variables in macrodynamics of two-dimensional periodic cellular media. Arch. Mech. (1998), 50, 3-19.
• [24] Cielecka I., Woźniak C., Woźniak M.: Elastodynamics behaviour of honeycomb cellular media (przyjęte do druku w: J. of Elasticity).
• [25] Dell’Isola F., Rosa L., Woźniak C.: Dynamics of solids with microperiodic non connected fluid inclusions. Arch. Appl. Mech. (1997), 67, 215-228.
• [26] Dell’Isola F., Rosa L., Woźniak C.: A micro-structural continuum modelling compacting fluid-saturated grounds. Acta Mech. (1998), 127, 165-182.
• [27] Destuynder Ph., Theodory C.: Homogénéisation de structures minces en béton armé. Math. Model. Numer. Anal. (1986), 20,47-74.
• [28] Duvaut G.: Analyse fonctionelle et macanique des milieux continue. Application à l’étude des matériaux composites élastiques a structure périodique - homogénéisation. (W: Theoretical and Applied Mechanics, ed. W. T. Koiter), Amsterdam, North-Holland (1976), 119-132.
• [29] Duvaut G.: Homogénéisation des plaques à structure péeriodique en théorie non linéaire de von Karman. W: Jounées d’analyse non linéaire, Lecture notes in mathematics (1977), vol. 665, 56-69, Springer-Verlag, Berlin.
• [30] Duvaut G.: Comportement macroscopique d’une plaque perforée périodiquement. W: Singular perturbations and boundary layer theory, Lecture notes in mathematics (1977), 131-145, Springer-Verlag, Berlin.
• [31] Duvaut G., Metellus A. M.: Homogénéisation d’une plaque mince en flexion des structure périodique et symmetrique. C.R. Acad. Sei., Paris (1976), 283(A), 947-950.
• [32] Dvorãk J.: Orthotropy coefficients of infinite perforated plates. W: Theory plates and shells, Bratislava (1966), 203-208.
• [33] El Otmani S., Sac- Épée, Saint Jean Paulin J.: Study of a perforated thin plate according to the relative sizes of its different parameters. Math. Meth. in the Appl. Sei. (1995), 18, 571-589.
• [34] Eringen A. C., Suhubi E. S.: Nonlinear theory of simple elastic solids. Int. J. Eng. Sei. (1964), 2, 189-203, 389-404.
• [35] Fichera G.: Is the Fourier theory of heat propagation paradoxical ? Rendiconti del circolo matematico di Palermo (1992), str. 13.
• [36] Frąckiewicz H.: Mechanika ośrodków siatkowych, Warszawa, PWN (1970).
• [37] Gomuliński A., Witkowski M.: Pewien sposób obliczania struktur kratowych. Arch. Inżyn. Ląd. (1972), 18, 1, 117-134.
• [38] Gutkowski W.: Unistrut plates. Bull. Acad. Polon. Sei. (1964), Cl. IV, 12, 3, 7-14.
• [39] Gutkowski W.: Powierzchniowe konstrukcje prętowe. Mech. Teor. i Stos. (1965), 3, 3, 79-94.
• [40] Hegender G. A.: On a theory of interacting continua for wave propagation in composites. W: Dynamics of Composite Materials, (ed. E. H. Lee), New York, ASME (1972).
• [41] Horvay G.: Bending of honeycomb and of perforated plates. J. Appl. Mech. (1952), 19, 1, 122-123.
• [42] Huber T. M.: Die Grundlagen einer rationellen Berechnung der kreuzweisebewehrten Eisenbeton-platten, Z. des Österr. Ing. Architekten Vereins (1914), 30, 557.
• [43] Huber T. M.: Teoria płyt prostokątnie różnokierunkowych. Arch. Tow. Nauk., Lwów (1921).
• [44] Huber T. M.: Probleme der Statik technisch wichtiger orthotroper Platten. Warszawa, Akad. Nauk. Tech. Pisma t. II (1929); Warszawa, PWN (1956).
• [45] Huber T. M.: Teoria sprężystości. Warszawa, PWN (1954).
• [46] Huffington N. J.: Theoretical determination of rigidity properties of orthogonally stiffened plates. J. Appl. Mech. (1956), 23, 1, 15-20.
• [47] Ignaczak J.: Saint-Venant type decay estimates for transient heat conduction in a composite rigid semispace. J. Therm. Stresses (1998), 21, 185-204.
• [48] Ignaczak J., Baczyński Z. F.: On a refined heat-conduction theory of micro- periodic layered solids. J. Therm Stresses (1997), 20, 749-771.
• [49] Jemielita G.: Meandry teorii płyt. Prace naukowe. Budownictwo, z. 117, Warszawa, Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej (1991).
• [50] Jędrysiak J.: Zagadnienie efektu skali w dynamice płyt Kirchhoffa o strukturze periodycznej. Praca doktorska. Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Środowiska Politechniki Łódzkiej, Łódź (1996).
• [51] Jędrysiak J.: On dynamics of thin plates with a periodic structure. Engng. Trans. (1998), 46, 1,73-87.
• [52] Jędrysiak J.: Free vibrations of thin periodic plates. Engng. Trans. (1998), 46, 1, 89-114.
• [53] Jędrysiak J.: Dynamics of thin periodic plates resting on a periodically inhomogeneous Winkler foundation. Arch. Appl. Mech. (1999), 69, 345-356.
• [54] Jędrysiak J.: On mesoshape functions in structural dynamics of thin periodic plates. Visnyk Lviv Univ. Ser. Mech.-Math. (1999), 55, 71-79.
• [55] Jędrysiak J.: On vibrations of thin plates with one-dimensional periodic structure. Int. J. Eng. Sei. (2000), 38/18, 2023-2043.
• [56] Jędrysiak J.: On stability of thin periodic plates. Eur. J. Mech. A/Solids (2000), 19, 487-502.
• [57] Jędrysiak J.: A contribution to the modelling of dynamic problems for periodic plates. Engng. Trans, (przyjęte do druku).
• [58] Jędrysiak J., Woźniak C.: On the elastodynamics of thin microperiodic plates. J. Theor. Appl. Mech. (1995), 33, 337-349.
• [59] Jikov V. V., Kozlov S. M., Oleinik O. A.: Homogenization of differential operators and integral functionals. Berlin-Heidelberg-New York, Springer Verlag (1994).
• [60] Kalamkarov A. L.: On determination of effective characteristics of lattice shells and plates with periodic structure. Mekh. Tv. Tela (1987), 2, 181-185, [w języku rosyjskim].
• [61] Kalamkarov A. L., Kudryavtsev B. A., Parton V. Z.: A problem of a curved composite layer with wavy faces of periodic geometry. Prikl. Mat. Mekh. (1987), 51, 68-75, [w języku rosyjskim].
• [62] Kączkowski Z.: Orthotropic rectangular plates with arbitrary boundary conditions. Arch. Mech. (1956), 8, 2, 179-196.
• [63] Kączkowski Z.: Płyty. Obliczenia statyczne. Warszawa, Arkady (1968).
• [64] Kirchhoff G.: Über des Gleichgewicht und die Bewegung einer elastischen Scheibe. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (Crelle’s Journal) (1850), 40, 1,55-88.
• [65] Kohn R. V., Vogelius M.: A new model for thin plates with rapidly varying thickness. Int. J. Solids Structures (1984), 20, 333-350.
• [66] Kohn R. V., Vogelius M.: A new model for thin plates with rapidly varying thickness, Part II: A convergence proof. Quart. Appl. Math. (1985), 43, 1-22.
• [67] Kohn R. V., Vogelius M.: A new model for thin plates with rapidly varying thickness, Part III: Comparison of different scalings. Quart. Appl. Math. (1986), 44, 35-48.
• [68] Kohn R. V., Vogelius M.: Thin plates of rapidly varying thickness and their relation to structural optimization. W: Homogenization and Effective Moduli of Materials and Media, wyd. przez: J. L. Ericksen, D. Kinderlehrer, R. Kohn, J.-L. Lions, 126-149. Berlin, Springer (1986).
• [69] Kolpakov A. G.: Effective stiffnesses of composite plates. Prikl. Mat. Mekh. (1982), 46, 666-673, [w języku rosyjskim],
• [70] Kolpakov A. G.: Thin elastic plates with periodic structure and internal unilateral contact conditions. Prikl. Mekh. Tekh. Fizika (1991), 5, 136-142 [w języku rosyjskim],
• [71] Konieczny S., Woźniak M.: On the wave propagation in micro-inhomogeneous media. J. Theor. Appl. Mech. (1995), 33, 375-384.
• [72] Lefik M.: Finite element model for 3-D analysis of composite plates. Engng. Trans. (1995), 43, 225-244.
• [73] Lekhnitskiî S. G.: Anisotropic plates, 2nd ed. N. Y., Gordon & Breach (1968).
• [74] Lewiński T.: Continuum models of lattice-type honeycomb plates. Bull. Acad. Polon. Sei., Sei. Tech. (1984), 32, 1/2, 25-34.
• [75] Lewiński T.: A note of averaging of stiffnesses of thin elastic periodic plates. Engng. Trans. (1986), 34, 3, 337-352.
• [76] Lewiński T.: Effective models of composite periodic plates: I. Asymptotic solutions, II. Simplifications due to symmetries, III. Two dimensional approaches. Int. J. Solids Structures (1991), 27, 1155-1172, 1173-1184, 1185-1203.
• [77] Lewiński T.: Homogenizing stiffnesses of plates with periodic structure, Int. J. Solids Structures (1992), 21, 309-326.
• [78] Lewiński T., Telega J. J.: Asymptotic method of homogenization of fissured elastic plates. J. Elast. (1988), 19, 37-62.
• [79] Lewiński T., Telega J. J.: Homogenization of fissured Reissner-like plates. I. Method two-scale asymptotic expansions, III. Some particular cases and an illustrative example. Arch. Mech. (1988), 40, 97-117, 295-303.
• [80] Lewiński T., Telega J. J.: Overall properties of plates with partially penetrating fissures, C. R. Acad. Sei. Paris (1989), 309(11), 951-956.
• [81] Lewiński T., Telega J. J.: Homogenization and effective properties of plates weakened by partially penetrating fissures - asymptotic analysis. Int. J. Engng. Sei. (1991), 29, 9, 1129-1155.
• [82] Lewiński T., Telega J. J.: Asymptotic method of homogenization of two models of elastic shells. Arch. Mech. (1998), 40, 705-723.
• [83] Lewiński T., Telega J. J.: Plates, laminates and shells. Singapore, World Scientific Publishing Company (2000).
• [84] Loboda V. V.: Application of averaging method to calculation of plate reinforced with ribs. Prikl. Mat. Mekh. (1981), 45, 867-875 [w języku rosyjskim],
• [85] Makosz S.: Obliczanie płyt na modelu zastępczego rusztu. Zesz. Nauk. Polit. Śląskiej (1985), nr 841, Budownictwo z. 60, 199-208.
• [86] Matysiak S. J., Nagórko W.: Microlocal parameters in the modelling of micrope- riodic plates. Ing. Arch. (1989), 59, 434-444.
• [87] Matysiak S. J., Nagórko W.: On the wave propagation in periodically laminated composites. Bull. Acad. Pol. Sei., Sei. Tech. (1995), 43, 1-12.
• [88] Mazurkiewicz Z.: Buckling, vibration and bending of a rectangular orthotropic plate resting on a non-homogeneous foundation. Bull. Acad. Polon. Sei., Ser. Sei. Tech. (1960), 8, 3, 129-133.
• [89] Mazurkiewicz Z.: Bending and buckling of a rectangular plate reinforced transversely by ribs with variable rigidities. Bull. Acad. Polon. Sei., Ser. Sei. Tech. (1962), 10, 8, 329-339.
• [90] Mazur-Śniady K.: Macro-dynamics of micro-periodic elastic beams. J. Theor. Appl. Mech. (1993), 31, 34-36.
• [91] Mazur-Śniady K.: The kinematic internal variable approach to dynamics of beams with a periodic-like structures. J. Theor. Appl. Mech. (przygotowane do publikacji).
• [92] McFarland D., Smith B. L., Bernhart W. D.: Analysis of plates. New York- Washington, Spartan Books (1972).
• [93] Michalak B.: Stability of elastic slightly wrinkled plates. Acta Mech. (1998), 130, 111-119.
• [94] Michalak B.: Stability of slightly wrinkled plates interacting with an elastic subsoil. Engng. Trans. (1999), 47, 3-4, 269-283.
• [95] Michalak B.: On a choice of micro-shape functions for a dynamic behaviour of wavy plates. Visnyk Lviv Univ. Ser. Mech.-Math. (1999), 55, 86-91.
• [96] Michalak B Vibrations of plates with initial geometrical periodical imperfections interacting with a periodic elastic foundation. Arch. Appl. Mech. (2000), 70, 508- 518.
• [97] Michalak B., Woźniak C., Woźniak M.: The dynamic modelling of elastic wavy-plates. Arch. Appl. Mech. (1996), 66, 177-186.
• [98] Mielczarek G., Woźniak C.: On the dynamic modelling of fibrous composites. J. Tech. Phys. (1995), 36, 103-111.
• [99] Mignot F., Puel J.-P., Suquet P. M.: Homogenization and bifurcation of perforated plates. Int. J. Eng. Sei. (1980), 18, 409-414.
• [100] Mindlin R. D.: Microstructure in linear elasticity. Arch. Rat. Mech. Anal. (1964), 16,51-78.
• [101] Mühlhaus H. B.: [Wyd.] Continuum models for materials with microstructure., New York, J. Wiley (1995).
• [102] Murakami H., Hegender G. A.: A mixture model for unidirectionally fiber- reinforced composites. J. Appl. Mech. ASME (1986), 53, 765-773.
• [103] Nomachi S. G.: On a stress analysis of grid plate by finite Fourier transforms concerning finite integration. W: Proc. 16th Japan Nat. Congress Appl. Mech., Tokyo 1966, (1967), 59-66.
• [104] Nowacki W.: Z zagadnień teorii rusztów płaskich. Arch. Mech. Stos. (1954), 6, 1, 101-138.
• [105] Nowacki W.: Mechanika budowli, t. II. Warszawa, PWN (1960).
• [106] Nowacki W.: Dynamika budowli. Warszawa, Arkady (1961).
• [107] Nowacki W.: Dźwigary powierzchniowe, Warszawa, Arkady (1979).
• [108] Osetinskiî Yu. V., Seferov G. G.: An application of theory of three-layers constructions to solving structural plates. Sb. Raschiet obolochiek i plastin. Rostov n. D., RISI (1975), 46-56, [w języku rosyjskim].
• [109] Pauk V. J., Woźniak C.: Plane contact problem for a half-space with boundary imperfections. Int. J. Solids Struct. (1999), 36, 3569-3579.
• [110] Pruchnicki E.: Overall properties of thin hyperelastic plate at finite strain with edge effects using asymptotic method. Int. J. Eng. Sei. (1998), 36, 973-1000.
• [111] Pshenichov G. L: Theory of thin elastic latticed shells and plates. Moskwa, Nauka (1982), [w języku rosyjskim],
• [112] Quintela-Estevez P.: A new model for nonlinear elastic plates with rapidly varying thickness. Appl. Anal. (1989), 32, 107-127.
• [113] Reddy J. N.: A refined nonlinear theory of plates with transverse shear deformation. Int. J. Solids Struct. (1984), 20, 881-896.
• [114] Reztsov M. V.: On the properties of effective moduli of composite plates. Zhur. Vich. Mat. Mat. Fiz. (1990), 30, 1741-1743, [w języku rosyjskim].
• [115] Rychlewska J., Szymczyk J., Woźniak C.: A discrete model for wave propagation problems in periodic composite media. Visnyk Lviv Univ. Ser. Mech.-Math. (1999), 55, 64-70.
• [116] Rychlewska J., Szymczyk J., Woźniak C.: A simplicial model for dynamic problems in periodic media. J. Theor. Appl. Mech. (2000), 38, 3-13.
• [117] Sanchez-Palencia E.: Non-homogeneous media and vibration theory. Lecture Notes in Physics, 127, Berlin, Springer Verlag (1980).
• [118] Sanchez-Palencia E., Zaoui A.: Homogenization techniques for composite media. Lecture Notes in Physics, 272, Berlin, Springer Verlag (1987).
• [119] Schrefler B. A., Lefîk M.: Use of homogenization method to build a beam element with thermo-mechanical microscale properties. Struct. Engng. and Mech. (1996), 4, 6,613-630.
• [120] Sokołowski M.: Obliczanie stałych sprężystości dla płyt o ortotropii technicznej. Arch. Inżyn. Ląd. (1957), 3, 4, 457-485.
• [121] Solecki R., Szymkiewicz J.: Układy prętowe i powierzchniowe. Obliczenia dynamiczne. Warszawa, Arkady (1964).
• [122] Sun C. T., Achenbach J. D., Herrmann G.: Time-harmonic waves in a stratified medium propagating in the direction of the layering. J. Appl. Mech. (1968), 35, 408-411.
• [123] Szlilard R.: Theory and analysis of plates. Classical and numerical methods. Englewood-Cliffs-New Jersey, Prentice-Hall, Inc. (1974).
• [124] Świtka R.: Zginanie i drgania rusztów kratowych. Rozpr. Inż. (1974), 22, 1, 21- 42.
• [125] Tadlaoui A., Tapiéro R.: Calcul par homogénéisation des microcontraintes dans une plaque heterogene dans son épaisseur. J. Méc. Théor. Appl. (1988), 7, 573-595.
• [126] Telega J. J.: Justification of a refined scaling of stiffnesses of Reissner plates with fine periodic structure. Math. Models Meth. Appl. Sei. (1992), 2, 375-406.
• [127] Telega J. J., Lewiński T.: Homogenization of fissured Reissner-like plates, II. Convergence. Arch. Mech. (1988), 40, 119-134.
• [128] Timoshenko S., Woinowsky-Krieger S.: Teoria płyt i powłok. Warszawa, Arkady (1962).
• [129] ToIedano A., Murakami H.: A high-order mixture model for periodic particulate composites. Int. J. Solids Struct. (1987), 23, 989-1002.
• [130] Tomczyk B.: Length-scale versus asymptotic model in dynamics of thin substructured cylindrical shells. Visnyk Lviv Univ. Ser. Mech.-Math. (1999), 55, 40-50.
• [131] Tomczyk B.: On the stability of substructured cylindrical shells (przygotowane do publikacji).
• [132] Troitsky M. S.: Stiffened plates. Bending, stability and vibrations. Amsterdam- Oxford-New York, Elsevier (1976).
• [133] Ugural A. C.: Stresses in plates and shells. New York-St. Louis-San Francisco, McGraw-Hill (1981).
• [134] Vlasov W. Z., Leontiev N. N.: Balki, plity i obolocki na uprugom osnovanii. Moskva: Gos. Izd. Fiz.-Mat. Lit. (1960), [w języku rosyjskim].
• [135] Wągrowska M., Woźniak C.: On the formulation of limit analysis problems for uniperiodic composite materials. ZAMM (1992), 72, 221-223.
• [136] Wągrowska M., Woźniak C.: Macro-modelling of dynamic problems for viscoelastic composite materials. Int. J. Engng. Sei. (1996), 35, 923-932.
• [137] Wierzbicki E.: On the wave propagation in micro-periodic elastic media. Bull. Pol. Acad. Sei., Tech. Sei. (1993), 41, 323-327.
• [138] Wierzbicki E.: Nonlinear macro-micro dynamics of laminated structures. J. Theor. Appl. Mech. (1995), 33, 291-307.
• [139] Wierzbicki E., Woźniak C.: Dispersive models of honeycomb based composites. Visnyk Lviv Univ. Ser. Mech.-Math. (1999), 55, 35-39.
• [140] Wierzbicki E., Woźniak C.: On the behavior of honeycomb based composite solids. Acta Mech. (2000), 141, 161-172.
• [141] Wierzbicki E., Woźniak C.: On the dynamics of combined plane periodic structures. Arch. Appl. Mech. (2000), 70, 387-398.
• [142] Wierzbicki E., Woźniak C., Woźniak M.: Finite rotations in the refined macrodynamics of elastic composites. J. Theor. Appl. Mech. (1995), 32, 1, 15-25.
• [143] Wierzbicki E., Woźniak C., Woźniak M.: Thermal stresses in elastodynamics of composite materials. Int. J. Engng. Sei. (1996), 35, 187-196.
• [144] Wierzbicki E., Woźniak C., Woźniak M.: Stability of micro-periodic materials under finite deformations. Arch. Mech. (1997), 49, 143-158.
• [145] Wierzbicki E., Woźniak C., Woźniak M.: On the modelling of transient micromotions and near-boundary phenomena in a stratified elastic layer (przygotowane do publikacji).
• [146] Winkler E.: Die Lehre von der Elastizitaet und Festigeit. Prague H. Dominicus (1867).
• [147] Woinowsky-Krieger S.: Zur Theorie schiefwinkliger Trägerroste. Ing. Archiv. (1957), 25, 5,350-358.
• [148] Woźniak C.: Thermoelasticity of non-simple oriented materials. Int. J. Engng. Sei. (1967), 5, 605-612.
• [149] Woźniak C.: Thermoelasticity of the bodies with microstructure. Arch. Mech. (1967), 19, 335-365.
• [150] Woźniak C.: Podstawy dynamiki ciał odkształcalnych. Warszawa, PWN (1969).
• [151] Woźniak C.: Siatkowe dźwigary powierzchniowe. Warszawa, PWN (1970).
• [152] Woźniak C.: Tolerance and fuzziness in problems of mechanics. Arch. Mech. (1983), 35,567-578.
• [153] Woźniak C.: A nonstandard method of modelling of thermoelastic periodic composites. Int. J. Engng. Sei. (1987), 25, 483-498.
• [154] Woźniak C.: Nonlinear macro-elastodynamics of micro-periodic composites, Bull. Pol. Ac. Sei., Tech. Sei. (1993), 41, 315-321.
• [155] Woźniak C.: Refined macrodynamics of periodic structures. Arch. Mech. (1993), 45, 295-304.
• [156] Woźniak C.: Macro-dynamics of elastic and visco-elastic microperiodic composites. J. Theor. Appl. Mech. (1993), 31, 763-770.
• [157] Woźniak C.: Microdynamics: continuum modelling the simple composite materials. J. Theor. Appl. Mech. (1995), 33, 267-289.
• [158] Woźniak C.: Internal variables in dynamics of composite solids with periodic microstructure. Arch. Mech. (1997), 49, 421-441.
• [159] Woźniak C.: On dynamics of substructured shells. J. Theor. Appl. Mech. (1999), 37, 255-265.
• [160] Woźniak C.: A model for analysis of micro-heterogeneous solids (Tolerance averaging versus homogenization). Mechanik Berichte (1999), 1.
• [161] Woźniak C.: Computational models of periodic composites. J. Theor. Appl. Mech. (2000), 38, 447-459.
• [162] Woźniak C., Wierzbicki E.: Averaging techniques in thermomechanics of composite solids. Wydawnictwo Politechniki Częstochowskiej (2000).
• [163] Woźniak C., Woźniak M.: Modelowanie w dynamice kompozytów. Teoria i zastosowania. Prace IPPT (1995), 25, Warszawa.
• [164] Woźniak C., Woźniak M.: On the description of dynamie behavior for micro- periodic solids. Phys. Chem. Mech. of Materials (1997), 33, 23-36.
• [165]Woźniak C., Woźniak M.: A generalization of the internal variable model for dynamics of solids with periodic microstructure. J. Theor. Appl. Mech. (1997), 35, 109-122.
• [166] Woźniak C., Woźniak M., Konieczny S.: A note on dynamic modelling of periodic composites. Arch. Mech. (1993), 45, 779-783.
• [167] Zeeman E. C.: The topology of the brain. W: Biology and Medicine. Medical Research Council (1965), 227-292.